Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn( M là tiếp điểm). Kẻ dây MN vuông góc với AO tại H. Kẻ cát tuyến ABC với đường tròn(điểm B nằm giữa A và C) a) Chứng minh AN là tiếp t...

a) Chứng minh AN là tiếp tuyến của đường tròn: Ta có: ∠MAN = 90° (do AM là tiếp tuyến) Và ∠MNA = 90° (do MN vuông góc với AO) Suy ra: ∠NAM = 180° - ∠MAN - ∠MNA = 0° Vậy, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Chứng minh OI.OK = ON² và ba điểm K, H, N thẳng hàng: Ta có: ∠BAC = ∠BMC (do AC cắt BC tại M) Và ∠BMC = ∠BNC (do MC = NC) Suy ra: ∠BAC = ∠BNC Vậy, ∠BCA = ∠BNA (do tổng các góc một tam giác bằng 180°) Do đó, tam giác ABC và tam giác ANB đồng dạng, suy ra AB/AN = BC/BN = AC/AB Từ đó ta có: AB² = AN.AC và BN = BC²/AB Vì vậy, ON² = OM² - MN² = OM² - (OH² + HM²) = R² - (R² - HI²) = HI² = OI.OK Vì ∠HNM = 90° và ∠HKM = 90° nên HK // NM. Do đó, ba điểm K, H, N thẳng hàng.