Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường tròn tâm O đường kính AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại E và F; AF cắt CE tại H a) Chứng minh: tam giác AEC vuông tại E b) Chứng minh: 4 điểm B,E,H,F cùng thuộc...

a) Chứng minh: tam giác AEC vuông tại E Lời giải: Vì đường tròn (O) có đường kính AC nên góc AOC = 90 độ. Do đó, góc AEC = góc AOC = 90 độ. Vậy tam giác AEC vuông tại E. b) Chứng minh: 4 điểm B,E,H,F cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn Lời giải: Ta có góc BAF = góc BEC (cùng chắn cung BC của đường tròn (O)) và góc ABF = góc ECB (cùng chắn cung BA của đường tròn (O)). Do đó, tam giác ABF ~ tam giác ECB (hai góc bằng nhau). Từ đó suy ra BF/AB = BC/EC = BF/AC (1). Tương tự, ta cũng có tam giác ACF ~ tam giác EBA nên AF/AC = AE/AB = AF/BC (2). Từ (1) và (2) suy ra BF/AB = AF/BC => tam giác ABF ~ tam giác BCF (cạnh hữu tỉ). Do đó, góc BFA = góc BCA. Mà góc BCA = góc BEA (cùng chắn cung BA của đường tròn (O)) nên góc BFA = góc BEA. Từ đó suy ra 4 điểm B,E,H,F cùng thuộc một đường tròn. Để xác định tâm I của đường tròn, ta lấy trung điểm I của đoạn thẳng BF. Vì I là trung điểm của cung BEF nên I là tâm của đường tròn đi qua 4 điểm B,E,H,F. c) Kẻ đường kính FK ( K thuộc ( O )) ; BK cắt đường tròn ( O ) tại M ( M khác K ). Chứng minh : BM.BK=BF.BC Lời giải: Ta có góc BKF = 90 độ (vì FK là đường kính). Do đó, góc BKM = góc BFM (cùng chắn cung BF). Vậy tam giác BKM ~ tam giác BFM (hai góc bằng nhau). Từ đó suy ra BM/BF = BK/BM => BM^2 = BF.BK. Mặt khác, ta cũng có tam giác BCF ~ tam giác BKM (do đã chứng minh ở phần b)) nên BC/BF = BK/BM => BM^2 = BF.BC. Vậy BM.BK = BF.BC.