Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường tròn tâm O đường kính AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại E và F; AF cắt CE tại H
a) Chứng minh: tam giác AEC vuông tại E
b) Chứng minh: 4 điểm B,E,H,F cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn
c) Kẻ đường kính FK ( K thuộc ( O )) ; BK cắt đường tròn ( O ) tại M ( M khác K ). Chứng minh : BM.BK=BF.BC

Question

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường tròn tâm O đường kính AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại E và F; AF cắt CE tại H
a) Chứng minh: tam giác AEC vuông tại E 
b) Chứng minh: 4 điểm B,E,H,F cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn 
c) Kẻ đường kính FK ( K thuộc ( O )) ; BK cắt đường tròn ( O ) tại M ( M khác K ). Chứng minh : BM.BK=BF.BC

nunalen · Accepted Answer

a) Vì A,E,C đều thuộc đường tròn tâm 0 và có đường kính AC ⟹ $\displaystyle \vartriangle AEC$ vuông tại E

b) Vì A,F,C đều thuộc đường tròn tâm 0 và có đường kính AC ⟹ $\displaystyle \vartriangle AFC$ vuông tại F ⟹ $\displaystyle \widehat{AFC} \ =90^{0}$ (1) mà $\displaystyle \widehat{AEC} \ =90\ ^{0}$ (phần a) (2) nên $\displaystyle \widehat{BEH} \ =\widehat{BFH} \ =90^{0}$ mà ta có hai góc này cùng nhìn cạnh BH ⟹ B,E,H,F cùng thuộc đường tròn với tâm là trung điểm của BH

c) Ta có : FK là đương kính ⟹ O là trung điểm của FK O cũng là trung điểm của AC và $\displaystyle \widehat{AFC} \ =90^{0}$ ⟹ AFCK là hình chữ nhật ⟹$\displaystyle \widehat{FCK} \ =90^{0}$ Xét $\displaystyle \Delta \ BMF\ và\ \Delta BCK$ có $\displaystyle \widehat{BMF} \ =\ \widehat{BCK} \ =90^{0}$ Góc B chung ⟹ Hai tam giác này đồng dạng ⟹ $\displaystyle \frac{BM}{BC} =\frac{BF}{BK}$ $\displaystyle \Longrightarrow \ BM\ .\ BK\ =\ BF\ .\ BC$

Timi · Answer

a) Chứng minh: tam giác AEC vuông tại E

Lời giải: Vì đường tròn (O) có đường kính AC nên góc AOC = 90 độ. Do đó, góc AEC = góc AOC = 90 độ. Vậy tam giác AEC vuông tại E.

b) Chứng minh: 4 điểm B,E,H,F cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn

Lời giải: Ta có góc BAF = góc BEC (cùng chắn cung BC của đường tròn (O)) và góc ABF = góc ECB (cùng chắn cung BA của đường tròn (O)). Do đó, tam giác ABF ~ tam giác ECB (hai góc bằng nhau). Từ đó suy ra BF/AB = BC/EC = BF/AC (1).

Tương tự, ta cũng có tam giác ACF ~ tam giác EBA nên AF/AC = AE/AB = AF/BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra BF/AB = AF/BC => tam giác ABF ~ tam giác BCF (cạnh hữu tỉ). Do đó, góc BFA = góc BCA. Mà góc BCA = góc BEA (cùng chắn cung BA của đường tròn (O)) nên góc BFA = góc BEA. Từ đó suy ra 4 điểm B,E,H,F cùng thuộc một đường tròn.

Để xác định tâm I của đường tròn, ta lấy trung điểm I của đoạn thẳng BF. Vì I là trung điểm của cung BEF nên I là tâm của đường tròn đi qua 4 điểm B,E,H,F.

c) Kẻ đường kính FK ( K thuộc ( O )) ; BK cắt đường tròn ( O ) tại M ( M khác K ). Chứng minh : BM.BK=BF.BC

Lời giải: Ta có góc BKF = 90 độ (vì FK là đường kính). Do đó, góc BKM = góc BFM (cùng chắn cung BF). Vậy tam giác BKM ~ tam giác BFM (hai góc bằng nhau). Từ đó suy ra BM/BF = BK/BM => BM^2 = BF.BK.

Mặt khác, ta cũng có tam giác BCF ~ tam giác BKM (do đã chứng minh ở phần b)) nên BC/BF = BK/BM => BM^2 = BF.BC.

Vậy BM.BK = BF.BC.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường tròn tâm O đường kính AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại E và F; AF cắt CE tại H a) Chứng minh: tam giác AEC vuông tại E b) Chứng minh: 4 điểm B,E,H,F cùng thuộc...