Chứng minh rằng: x^2 + 5y^2 + 2x - 4xy - 10y + 14 > 0 với mọi x, y.

Để chứng minh điều này, ta sẽ hoàn thiện hình vuông và sử dụng tính chất của số học. Bắt đầu bằng cách sắp xếp lại biểu thức: x^2 - 4xy + 5y^2 + 2x - 10y + 14 Ta có thể nhóm các hạng tử liên quan đến x và y lại với nhau: (x^2 - 4xy + 2x) + (5y^2 - 10y) + 14 Tiếp theo, ta hoàn thiện hình vuông cho từng nhóm: [(x - 2)^2 - 4] + [5(y - 1)^2 - 5] + 14 Sắp xếp lại, ta có: (x - 2)^2 + 5(y - 1)^2 + 10 > 0 Vì (x - 2)^2 và 5(y - 1)^2 luôn không âm (bởi vì chúng là bình phương của một số thực), và 10 là một số dương, nên tổng của chúng luôn lớn hơn 0. Vậy, ta đã chứng minh được rằng x^2 + 5y^2 + 2x - 4xy - 10y + 14 > 0 với mọi x, y.