Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E F, . Gọi I J, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE,...

Gọi U, V lần lượt là giao điểm của MI và BJ, NJ và CI
Ta có: $\displaystyle \widehat{AMD} =180^{0} -\widehat{AMB} =180^{0} -\widehat{AIB} =180^{0} -\widehat{DJC} =180^{0} -\widehat{DNC} =\widehat{AND}$
hay AMND là tứ giác nội tiếp Suy ra $\displaystyle \widehat{DMN} =\widehat{DAN} =\widehat{DBC}$ hay MN//BC
Ta có: $\displaystyle \widehat{IBQ} =\widehat{JCQ}$ và $\displaystyle \widehat{BIU} =\widehat{BAM} =180^{0} -\widehat{ABM} -\widehat{AMB} =180^{0} -\widehat{ACD} -\widehat{DJC} =\widehat{CDN} =\widehat{CJV}$
nên $\displaystyle \vartriangle BIU\backsim \vartriangle CJV;\ \vartriangle BIQ\backsim \vartriangle CJQ\ ( g.g)$
Suy ra $\displaystyle \frac{BU}{CV} =\frac{BQ}{CQ}$ hay UV//BC
Ta có MN//UV//BC Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác BUM; CVN và gọi H là giao điểm của IM, JN; P là giao điểm của BM, CN; Q là giao điểm của BU, CV; khi đó H, P, Q thẳng hàng.
Vậy IM, JN, PQ đồng quy tại H đpcm