Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E F, . Gọi I J, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE, CDF ; hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt cạnh BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt cạnh AC tại N. Chứng minh ba đường thẳng IM, JN, PQ đồng quy.”

Question

Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB,  CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E F, . Gọi I J, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE, CDF  ; hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt cạnh BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt cạnh AC tại N. Chứng minh ba đường thẳng IM, JN, PQ đồng quy.”

Accepted Answer

Gọi U, V lần lượt là giao điểm của MI và BJ, NJ và CI
Ta có: $\displaystyle \widehat{AMD} =180^{0} -\widehat{AMB} =180^{0} -\widehat{AIB} =180^{0} -\widehat{DJC} =180^{0} -\widehat{DNC} =\widehat{AND}$
hay AMND là tứ giác nội tiếp Suy ra $\displaystyle \widehat{DMN} =\widehat{DAN} =\widehat{DBC}$ hay MN//BC
Ta có: $\displaystyle \widehat{IBQ} =\widehat{JCQ}$ và $\displaystyle \widehat{BIU} =\widehat{BAM} =180^{0} -\widehat{ABM} -\widehat{AMB} =180^{0} -\widehat{ACD} -\widehat{DJC} =\widehat{CDN} =\widehat{CJV}$
nên $\displaystyle \vartriangle BIU\backsim \vartriangle CJV;\ \vartriangle BIQ\backsim \vartriangle CJQ\ ( g.g)$
Suy ra $\displaystyle \frac{BU}{CV} =\frac{BQ}{CQ}$ hay UV//BC
Ta có MN//UV//BC Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác BUM; CVN và gọi H là giao điểm của IM, JN; P là giao điểm của BM, CN; Q là giao điểm của BU, CV; khi đó H, P, Q thẳng hàng.
Vậy IM, JN, PQ đồng quy tại H đpcm

Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E F, . Gọi I J, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE,...