a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

a) Bất đẳng thức Cauchy: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có (a^2 + b^2) / 2 ≥ ab. Đây là một bất đẳng thức cơ bản trong toán học, được chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp hoàn thành vuông hoặc so sánh với bình phương của hiệu. b) Bất đẳng thức: Để chứng minh bất đẳng thức a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Buniakowsky-Schwarz: (a^2/b + b^2/c + c^2/a) * (1/a + 1/b + 1/c) ≥ (a + b + c)^2 Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. c) Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab: Để tìm giá trị lớn nhất của P = ab với điều kiện 3a + 5b = 12, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp Lagrange. Tuy nhiên, một cách đơn giản hơn là biến đổi bài toán thành dạng bất đẳng thức AM-GM (trung bình số học - trung bình số hình học): Ta có: 3a + 5b = 12 <=> a/4 + b/3 = 1 Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a/4 + b/3 ≥ 2*sqrt[(a/4)*(b/3)] = 2*sqrt[ab/12] Từ đó suy ra: ab ≤ 9/4 Vậy giá trị lớn nhất của P = ab là 9/4.