Cho ΔABD vuông tại A có AB< AD . M là trung điểm của BD . Lấy C sao cho M là trung điểm của AC. a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật. b) Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DA=DE . Gọi I là trung...

Đây là một bài toán về hình học trong không gian, cụ thể là về tam giác và hình chữ nhật. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng các kiến thức về đường trung bình của tam giác, tính chất của hình chữ nhật và hình thang cân. a) Đầu tiên, chúng ta cần chứng minh ABCD là hình chữ nhật. Theo giả thiết, M là trung điểm của BD và AC. Do đó, theo định lý về đường trung bình trong tam giác, ta có AM // CD và AM = 1/2 * CD. Tương tự, BM // AC và BM = 1/2 * AC. Vì vậy, AB // DC và AD // BC. Do đó, ABCD là hình bình hành. Tuy nhiên, ta còn biết rằng ∠BAD = 90°. Do đó, tất cả các góc của hình bình hành ABCD đều bằng 90°, nghĩa là ABCD là hình chữ nhật. b) Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh IB = IE. Theo giả thiết, DA = DE. Vì I là trung điểm của CD, nên DI = 1/2 * CD. Do ABCD là hình chữ nhật, nên AD = BC. Do đó, DI = 1/2 * BC. Vì M là trung điểm của BD, nên BM = 1/2 * BD. Vì vậy, BI = BM + MI = 1/2 * BD + 1/2 * CD = 1/2 * (BD + CD) = 1/2 * BC = DI. Do đó, IB = IE. c) Cuối cùng, chúng ta cần chứng minh BDCK là hình thang cân. Theo giả thiết, H là trung điểm của AK. Do đó, AH = 1/2 * AK. Vì AH ⊥ BD, nên ∠AHB = 90°. Do đó, tam giác ABH là tam giác vuông tại H. Vì vậy, BH = √(AB² + AH²) = √(AB² + (1/2 * AK)²). Tương tự, CH = √(AC² + AH²) = √(AC² + (1/2 * AK)²). Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AB = CD. Do đó, BH = CH. Vì vậy, BDCK là hình thang cân.