Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD). Qua điểm M thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD, cắt BD tại N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MNDC là hình thang cân. b) Tứ giác MNAB là hình thang cân...

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán này. Đây là một bài toán về hình học, cụ thể là về hình thang cân và các tính chất liên quan. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số khái niệm và định lý trong hình học như sau: - Định lý song song: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tại hai điểm khác nhau thì hai đoạn tạo thành từ điểm cắt đến điểm chung của hai đường thẳng đó tỉ lệ nhau. - Tính chất hình thang cân: Hai cạnh bên của hình thang cân bằng nhau. Bây giờ, chúng ta sẽ bắt đầu giải bài toán: a) Chứng minh tứ giác MNDC là hình thang cân Bởi vì MN song song với CD (theo đề bài) và MN cắt CD tại điểm N, chúng ta có thể áp dụng định lý song song để nói rằng: $$ Tương tự, vì MN song song với AB và MN cắt AB tại điểm M, chúng ta cũng có thể nói rằng: $$ Từ hai phương trình trên, chúng ta có thể suy ra rằng: $$ Điều này có nghĩa là ND/BD = MB/AB. Từ đây, chúng ta có thể kết luận rằng ND = MB. Vì vậy, MNDC là hình thang cân (vì hai cạnh bên của nó bằng nhau). b) Chứng minh tứ giác MNAB là hình thang cân Tương tự như trên, chúng ta có thể áp dụng định lý song song để nói rằng: $$ Và vì MN song song với CD và MN cắt CD tại điểm N, chúng ta cũng có thể nói rằng: $$ Từ hai phương trình trên, chúng ta có thể suy ra rằng: $$ Điều này có nghĩa là NB/BD = ND/CD. Từ đây, chúng ta có thể kết luận rằng NB = ND. Vì vậy, MNAB là hình thang cân (vì hai cạnh bên của nó bằng nhau).