Gúp em với

Để giải phương trình $\cos 2x = \cos(x+60^\circ)$, ta sử dụng công thức chuyển đổi của hàm cosin: \[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\] Với công thức này, ta có thể biến đổi phương trình ban đầu thành: \[\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(x+60^\circ)\] Tiếp theo, ta sử dụng công thức chuyển đổi khác của hàm cosin: \[\cos(x+60^\circ) = \cos x \cos 60^\circ - \sin x \sin 60^\circ\] Thay vào phương trình ban đầu, ta có: \[\cos^2 x - \sin^2 x = \cos x \cos 60^\circ - \sin x \sin 60^\circ\] Sử dụng các công thức trigonometic, ta có: \[\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\] Để giải phương trình này, ta sẽ chuyển tất cả các thành phần về cùng một bên và sử dụng các công thức khác nhau để biến đổi: \[\cos^2 x - \frac{1}{2} \cos x = \sin^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\] \[\cos^2 x - \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{4} = \sin^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{4}\] \[\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\] Sử dụng công thức chuyển đổi của hàm sin: \[\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\] Ta có thể viết lại phương trình trên thành: \[\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\sqrt{1 - \cos^2 x} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\] Loại bỏ căn bậc hai, ta có: \[\cos x - \frac{1}{2} = \sqrt{1 - \cos^2 x} + \frac{\sqrt{3}}{2}\] Tiếp theo, ta sẽ giải phương trình này bằng cách chuyển tất cả các thành phần về cùng một bên và sử dụng các công thức khác nhau để biến đổi: \[\cos x - \sqrt{1 - \cos^2 x} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\] Bình phương cả hai vế, ta có: \[\cos^2 x - 2\cos x \sqrt{1 - \cos^2 x} + 1 - \cos^2 x = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4}\] Simplifying, we get: \[-2\cos x \sqrt{1 - \cos^2 x} = 2\sqrt{3}\] Chia cả hai vế cho -2, ta có: \[\cos x \sqrt{1 - \cos^2 x} = -\sqrt{3}\] Bình phương cả hai vế, ta có: \[\cos^2 x (1 - \cos^2 x) = 3\] Đặt $t = \cos^2 x$, ta có: \[t(1 - t) = 3\] Đưa về dạng phương trình bậc hai, ta có: \[t^2 - t - 3 = 0\] Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm: \[t_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \quad t_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\] Vì $\cos^2 x = t$, nên ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: $\cos^2 x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ Lấy căn bậc hai cả hai vế, ta có: \[\cos x = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}}\] Trường hợp 2: $\cos^2 x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ Lấy căn bậc hai cả hai vế, ta có: \[\cos x = \pm \sqrt{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}\] Vậy, tất cả các nghiệm của phương trình $\cos 2x = \cos(x+60^\circ)$ là: \[x = -20^\circ + k \cdot 120^\circ, \quad x = 60^\circ + k \cdot 360^\circ\] Trong đó, $k$ là số nguyên. Đáp án là $A. x = -20^\circ + k \cdot 120^\circ, \quad k \in \mathbb{Z}$.