Cho tam giác đều ABC cạnh 8cm. Chia tam giác này thành 64 tam giác đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các cạnh tam giác ABC (như hình vẽ). Gọi S là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh 1c...

Để giải bài toán này, chúng ta cần làm theo các bước sau: Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC. Vì tam giác ABC là tam giác đều, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác đều: \[S_{ABC} = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{4}\] Trong đó, a là độ dài cạnh tam giác ABC. Với a = 8cm, ta có: \[S_{ABC} = \frac{{8^2\sqrt{3}}}{4} = 16\sqrt{3}\] Bước 2: Tính diện tích mỗi tam giác cạnh 1cm. Vì tam giác đã được chia thành 64 tam giác cạnh 1cm, nên diện tích mỗi tam giác cạnh 1cm là: \[S_{1cm} = \frac{{1^2\sqrt{3}}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}\] Bước 3: Tính diện tích miền trong của tam giác ABC mà chứa các tam giác cạnh 1cm. Để tính diện tích miền trong này, ta cần biết số lượng tam giác cạnh 1cm mà nằm trong miền trong của tam giác ABC. Để tìm số lượng này, ta cần xác định vị trí của các tam giác cạnh 1cm. Bước 4: Xác định vị trí của các tam giác cạnh 1cm. Vì tam giác ABC là tam giác đều và đã được chia thành 64 tam giác cạnh 1cm, ta có thể xác định vị trí của các tam giác cạnh 1cm như sau: - Các tam giác cạnh 1cm nằm trên các cạnh của tam giác ABC: có 24 tam giác như vậy. - Các tam giác cạnh 1cm nằm trong miền trong của tam giác ABC: có 40 tam giác như vậy. Bước 5: Tính diện tích miền trong của tam giác ABC mà chứa các tam giác cạnh 1cm. Để tính diện tích miền trong này, ta cần biết số lượng tam giác cạnh 1cm mà nằm trong miền trong của tam giác ABC. Ta đã xác định được rằng có 40 tam giác như vậy. Vì diện tích mỗi tam giác cạnh 1cm là \(\frac{\sqrt{3}}{4}\), nên diện tích miền trong này là: \[S_{\text{miền trong}} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = 10\sqrt{3}\] Bước 6: Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên. Để tính xác suất này, ta cần biết số lượng cách chọn 4 đỉnh từ tập hợp S. Vì tập hợp S là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh 1cm, nên số lượng cách chọn 4 đỉnh từ tập hợp S là: \[\binom{64}{4}\] Và xác suất cần tìm là: \[P = \frac{{\text{số cách chọn 4 đỉnh nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên}}}{{\text{số cách chọn 4 đỉnh từ tập hợp S}}}\] Bước 7: Tính xác suất. Để tính xác suất này, ta cần tính số cách chọn 4 đỉnh nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên. Ta đã xác định được rằng diện tích miền trong này là \(10\sqrt{3}\). Vì diện tích mỗi tam giác cạnh 1cm là \(\frac{\sqrt{3}}{4}\), nên số cách chọn 4 đỉnh như vậy là: \[\binom{40}{4}\] Vậy xác suất cần tìm là: \[P = \frac{{\binom{40}{4}}}{{\binom{64}{4}}}\] Bước 8: Tính giá trị xác suất. Để tính giá trị xác suất này, ta thực hiện các phép tính sau: \[P = \frac{{\binom{40}{4}}}{{\binom{64}{4}}} = \frac{{\frac{{40!}}{{4!(40-4)!}}}}{{\frac{{64!}}{{4!(64-4)!}}}} = \frac{{40! \cdot 4!(64-4)!}}{{4!(40-4)! \cdot 64!}}\] Ta có thể rút gọn phân số này bằng cách loại bỏ các yếu tố trùng nhau trong tử số và mẫu số: \[P = \frac{{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}}{{64 \cdot 63 \cdot 62 \cdot 61}}\] Tiếp theo, ta thực hiện các phép tính để tính giá trị xác suất: \[P = \frac{{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}}{{64 \cdot 63 \cdot 62 \cdot 61}} = 0.006111535523300229\] Vậy, giá trị xác suất cần tìm là 0.006111535523300229.