Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( C, D là các tiếp điểm ). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O (A nằm giữa M và B). Gọi I là trung điểm của AB, tia IO cắt MD tại K.
a, C/m 4 điểm: M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn
b, C/m KD.KM=KO.K
c, Một đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F.Xác định vị trí của điểm M trên cát tuyến MAB để diện tích tam giác MEF đạt giá trị nhỏ nhất

Question

Accepted Answer

a) Ta có: $\displaystyle \widehat{MCO} =\widehat{MDO} =180^{0}$ nên MCOD là tứ giác nội tiếp hay M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Vì I là trung điểm AB nên $\displaystyle OK\bot AB$ Chứng minh hai tam giác vuông $\displaystyle KIM$ và $\displaystyle KDO$ đồng dạng theo hai trường hợp
góc - góc suy ra: $\displaystyle \frac{KI}{KD} =\frac{KM}{KO} \Longrightarrow KD.KM=KI.KO$ (đpcm)
c) Ta có: $\displaystyle S_{MEF} =2S_{MOF}$
Do đó $\displaystyle S_{MEF}$ nhỏ nhất $\displaystyle \Leftrightarrow \displaystyle S_{MOF}$ nhỏ nhất
Mà $\displaystyle S_{MOF} =\frac{1}{2} OD.MF=\frac{1}{2} R.MF$
Do đó $\displaystyle S_{MOF}$ nhỏ nhất $\displaystyle \Leftrightarrow $MF nhỏ nhất
Ta lại có: $\displaystyle MF=MD+DF;\ MD.DF=OD^{2} =R^{2}$ ( hệ thức lượng trong tam giác vuông $\displaystyle MOF$ có đường cao $\displaystyle OF$)
Do đó $\displaystyle MF$ nhỏ nhất khi $\displaystyle MD=DF$
Khi đó ta có: $\displaystyle MD=DF=R$ và $\displaystyle MA.MB=MD^{2} =R^{2}$
Vậy, khi M nằm trên cát tuyến MAB mà $\displaystyle MA.MB=R^{2}$ thì $\displaystyle S_{MEF}$ nhỏ nhất.

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( C, D là các tiếp điểm ). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O (A nằm giữa M và B). Gọi I là trung điểm của AB, tia IO cắt...