tính nhanh 1/100-1/100.99-1/99.98-1/98.97-...-1/3.2-1/2.1

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật trong đại số và tính toán. Hãy xem xét từng bước sau đây: Bước 1: Đặt biểu thức ban đầu dưới dạng tổng: \[ \frac{1}{100} - \frac{1}{100.99} - \frac{1}{99.98} - \frac{1}{98.97} - \ldots - \frac{1}{3.2} - \frac{1}{2.1} \] Bước 2: Chúng ta sẽ tìm cách biểu diễn các phân số này dưới dạng một dãy số học. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của một dãy hình học. Bước 3: Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm công bội giữa các phần tử liên tiếp trong dãy. Ta nhận thấy rằng mỗi phần tử trong dãy là kết quả của phép chia giữa hai số liên tiếp trong dãy số sau đây: 100, 100.99, 99.98, 98.97, ..., 3.2, 2.1. Bước 4: Để tìm công bội giữa các phần tử liên tiếp, chúng ta sẽ lấy phần tử thứ n+1 chia cho phần tử thứ n. Ta có: \[ \text{Công bội} = \frac{100.99}{100} = \frac{100.99}{100} \times \frac{99.98}{100.99} \times \frac{98.97}{99.98} \times \ldots \times \frac{2.1}{3.2} \] Bước 5: Ta nhận thấy rằng các số trong phép nhân trên đều bị hủy đi, chỉ còn lại hai số cuối cùng là $\frac{2.1}{100}$. Bước 6: Vậy công bội giữa các phần tử liên tiếp là $\frac{2.1}{100}$. Bước 7: Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm công bội của dãy số này. Để làm điều này, chúng ta sẽ lấy công bội giữa các phần tử liên tiếp và nhân chúng với nhau. Ta có: \[ \text{Công bội của dãy} = \left(\frac{2.1}{100}\right)^n \] Bước 8: Để tính tổng của dãy ban đầu, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của một dãy hình học. Công thức này là: \[ \text{Tổng} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \] trong đó $a$ là phần tử đầu tiên của dãy, $r$ là công bội của dãy và $n$ là số phần tử trong dãy. Bước 9: Áp dụng công thức trên vào bài toán của chúng ta, ta có: \[ \text{Tổng} = \frac{\frac{1}{100}(1 - \left(\frac{2.1}{100}\right)^n)}{1 - \frac{2.1}{100}} \] Bước 10: Để tìm giá trị cuối cùng của tổng, chúng ta sẽ lấy giới hạn khi $n$ tiến tới vô cùng. Khi $n$ tiến tới vô cùng, $\left(\frac{2.1}{100}\right)^n$ sẽ tiến tới 0. Bước 11: Vậy giá trị cuối cùng của tổng là: \[ \text{Tổng} = \frac{\frac{1}{100}}{1 - \frac{2.1}{100}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{97.9}{100}} = \frac{1}{97.9} \approx -4.129813130187171 \] Vậy kết quả cuối cùng của bài toán là -4.129813130187171.