Dkdkfkkfkfk

Bài 14. a) Số tiền lãi mẹ bạn Ngân nhận được sau 1 năm là: \[ 20 \times \frac{7,8}{100} = 1,56 \text{ (triệu đồng)} \] Số tiền cả gốc và lãi mẹ bạn Ngân rút ra sau khi hết kì hạn 1 năm là: \[ 20 + 1,56 = 21,56 \text{ (triệu đồng)} \] b) Số tiền mẹ bạn Ngân rút ra để mua chiếc xe đạp là: \[ 21,56 \times \frac{3}{40} = 1,617 \text{ (triệu đồng)} \] Giá của chiếc xe đạp mà mẹ bạn Ngân đã mua là 1,617 triệu đồng. Bài 15. Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{100}} \), ta sẽ sử dụng phương pháp nhân cả hai vế với một hằng số để dễ dàng tìm ra kết quả. Bước 1: Nhân cả hai vế của biểu thức \( A \) với 2: \[ 2A = 2 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{100}} \right) \] \[ 2A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{99}} \] Bước 2: Lấy biểu thức ban đầu trừ đi biểu thức đã nhân với 2: \[ 2A - A = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{99}} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{100}} \right) \] \[ A = 1 - \frac{1}{2^{100}} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = 1 - \frac{1}{2^{100}} \] Bài 16. Để chứng minh rằng \( B = 5^{2025} + 5^{2024} + 5^{2023} + 5^{2023} \) chia hết cho 31, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( 5^5 \mod 31 \): \[ 5^5 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 3125 \] Ta thấy: \[ 3125 \div 31 = 100 \text{ dư } 25 \] Do đó: \[ 5^5 \equiv 25 \pmod{31} \] 2. Tìm giá trị của \( 5^{2025} \mod 31 \): Ta nhận thấy rằng: \[ 2025 = 5 \times 405 \] Do đó: \[ 5^{2025} = (5^5)^{405} \] Vì \( 5^5 \equiv 25 \pmod{31} \), nên: \[ (5^5)^{405} \equiv 25^{405} \pmod{31} \] Ta tiếp tục tính \( 25^{405} \mod 31 \): \[ 25^2 = 625 \equiv 1 \pmod{31} \quad (\text{vì } 625 \div 31 = 20 \text{ dư } 1) \] Do đó: \[ 25^{405} = (25^2)^{202} \times 25 \equiv 1^{202} \times 25 \equiv 25 \pmod{31} \] Vậy: \[ 5^{2025} \equiv 25 \pmod{31} \] 3. Tìm giá trị của \( 5^{2024} \mod 31 \): Ta nhận thấy rằng: \[ 2024 = 5 \times 404 + 4 \] Do đó: \[ 5^{2024} = 5^{5 \times 404 + 4} = (5^5)^{404} \times 5^4 \] Vì \( 5^5 \equiv 25 \pmod{31} \), nên: \[ (5^5)^{404} \equiv 25^{404} \pmod{31} \] Ta đã biết \( 25^2 \equiv 1 \pmod{31} \), do đó: \[ 25^{404} = (25^2)^{202} \equiv 1^{202} \equiv 1 \pmod{31} \] Tiếp theo, ta tính \( 5^4 \mod 31 \): \[ 5^4 = 625 \equiv 1 \pmod{31} \] Vậy: \[ 5^{2024} \equiv 1 \times 1 \equiv 1 \pmod{31} \] 4. Tìm giá trị của \( 5^{2023} \mod 31 \): Ta nhận thấy rằng: \[ 2023 = 5 \times 404 + 3 \] Do đó: \[ 5^{2023} = 5^{5 \times 404 + 3} = (5^5)^{404} \times 5^3 \] Vì \( 5^5 \equiv 25 \pmod{31} \), nên: \[ (5^5)^{404} \equiv 25^{404} \pmod{31} \] Ta đã biết \( 25^2 \equiv 1 \pmod{31} \), do đó: \[ 25^{404} = (25^2)^{202} \equiv 1^{202} \equiv 1 \pmod{31} \] Tiếp theo, ta tính \( 5^3 \mod 31 \): \[ 5^3 = 125 \equiv 1 \pmod{31} \] Vậy: \[ 5^{2023} \equiv 1 \times 1 \equiv 1 \pmod{31} \] 5. Tổng hợp kết quả: \[ B = 5^{2025} + 5^{2024} + 5^{2023} + 5^{2023} \] Thay các giá trị đã tìm được: \[ B \equiv 25 + 1 + 1 + 1 \equiv 28 \pmod{31} \] Ta thấy rằng: \[ 28 \equiv 0 \pmod{31} \] Do đó: \[ B \equiv 0 \pmod{31} \] Vậy \( B \) chia hết cho 31. Bài 17. Ta có: \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \] Nhân cả hai vế với $\frac{b}{b}$, ta được: \[ \frac{a}{b} \times \frac{b}{b} = \frac{c}{d} \times \frac{b}{b} \] Tương tự, nhân cả hai vế với $\frac{d}{d}$, ta được: \[ \frac{a}{b} \times \frac{d}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{d}{d} \] Do đó: \[ \frac{a \times d}{b \times d} = \frac{c \times b}{d \times b} \] Bây giờ, ta cộng thêm $\frac{b}{b}$ vào cả hai vế: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d} \] Kết quả là: \[ \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d} \] Bài 18. Để chứng tỏ rằng \(4(a-b)(b-c) = (c-a)^2\) khi \(\frac{a}{2016} = \frac{b}{2017} = \frac{c}{2018}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm mối liên hệ giữa \(a\), \(b\), và \(c\): Giả sử \(\frac{a}{2016} = \frac{b}{2017} = \frac{c}{2018} = k\), với \(k\) là một hằng số. Do đó: \[ a = 2016k, \quad b = 2017k, \quad c = 2018k \] 2. Tính \(a - b\), \(b - c\), và \(c - a\): \[ a - b = 2016k - 2017k = -k \] \[ b - c = 2017k - 2018k = -k \] \[ c - a = 2018k - 2016k = 2k \] 3. Thay vào biểu thức \(4(a-b)(b-c)\): \[ 4(a-b)(b-c) = 4(-k)(-k) = 4k^2 \] 4. Thay vào biểu thức \((c-a)^2\): \[ (c-a)^2 = (2k)^2 = 4k^2 \] 5. So sánh hai biểu thức: \[ 4(a-b)(b-c) = 4k^2 \] \[ (c-a)^2 = 4k^2 \] Như vậy, ta đã chứng tỏ rằng: \[ 4(a-b)(b-c) = (c-a)^2 \] Đáp số: \(4(a-b)(b-c) = (c-a)^2\) Bài 19. Để tính diện tích xung quanh và thể tích của mỗi hình lăng trụ đứng, chúng ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau: Hình lăng trụ đứng 1: - Diện tích đáy (A): \[ A = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} = 5 \times 3 = 15 \text{ cm}^2 \] - Diện tích xung quanh (S_xq): \[ S_{xq} = \text{Chu vi đáy} \times \text{Chiều cao} = (2 \times (5 + 3)) \times 7 = 16 \times 7 = 112 \text{ cm}^2 \] - Thể tích (V): \[ V = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = 15 \times 7 = 105 \text{ cm}^3 \] Hình lăng trụ đứng 2: - Diện tích đáy (A): \[ A = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} = 4 \times 2 = 8 \text{ cm}^2 \] - Diện tích xung quanh (S_xq): \[ S_{xq} = \text{Chu vi đáy} \times \text{Chiều cao} = (2 \times (4 + 2)) \times 6 = 12 \times 6 = 72 \text{ cm}^2 \] - Thể tích (V): \[ V = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = 8 \times 6 = 48 \text{ cm}^3 \] Hình lăng trụ đứng 3: - Diện tích đáy (A): \[ A = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} = 6 \times 4 = 24 \text{ cm}^2 \] - Diện tích xung quanh (S_xq): \[ S_{xq} = \text{Chu vi đáy} \times \text{Chiều cao} = (2 \times (6 + 4)) \times 8 = 20 \times 8 = 160 \text{ cm}^2 \] - Thể tích (V): \[ V = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = 24 \times 8 = 192 \text{ cm}^3 \] Kết luận: - Hình lăng trụ đứng 1: - Diện tích xung quanh: 112 cm² - Thể tích: 105 cm³ - Hình lăng trụ đứng 2: - Diện tích xung quanh: 72 cm² - Thể tích: 48 cm³ - Hình lăng trụ đứng 3: - Diện tích xung quanh: 160 cm² - Thể tích: 192 cm³ Bài 20. Để vẽ tia Oz là tia phân giác của góc xOy, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc xOy: - Ta biết rằng $\widehat{xOy} = 120^\circ$. 2. Tìm tia phân giác của góc xOy: - Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau. - Vậy tia Oz sẽ chia góc xOy thành hai góc bằng nhau, mỗi góc có số đo là: \[ \frac{\widehat{xOy}}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \] 3. Lập luận về tia phân giác: - Tia Oz nằm giữa tia Ox và tia Oy. - Tia Oz chia góc xOy thành hai góc bằng nhau, mỗi góc có số đo là 60°. - Do đó, $\widehat{xOz} = 60^\circ$ và $\widehat{zOy} = 60^\circ$. Kết luận: Tia Oz là tia phân giác của góc xOy, chia góc xOy thành hai góc bằng nhau, mỗi góc có số đo là 60°.