Cho ∆ABC , 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . I ,K lần lượt là trung điểm của GB , GC a, chứng minh MN=IK b, Chứng minh tứ giác MNIK là hình gì?

1. Đây là một bài toán về hình học không gian, cụ thể là về tam giác và các đường trung tuyến trong tam giác. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các nguyên lý và định lý trong hình học, như định lý Stewart và định lý về tỉ số đoạn. a. Đầu tiên, chúng ta cần chứng minh MN=IK. Theo định lý Stewart trong tam giác, ta có: \[ \frac{MB^2 + NC^2}{2} = \frac{GA^2 + GB^2 + GC^2}{3} \] Vì I, K là trung điểm của GB, GC nên GI = GK = $\frac{GA}{2}$ và IB = IC = $\frac{GB}{2}$ = $\frac{GC}{2}$. Do đó, ta có: \[ MI^2 = MG^2 + GI^2 = \frac{GA^2}{4} + \frac{GB^2}{4} = \frac{GA^2 + GB^2}{4} \] Tương tự, ta có: \[ NK^2 = NG^2 + GK^2 = \frac{GA^2}{4} + \frac{GC^2}{4} = \frac{GA^2 + GC^2}{4} \] Vì MI = NK và MN = $\frac{MB + NC}{2}$, nên ta có: \[ MN^2 = \frac{MB^2 + NC^2}{4} = \frac{GA^2 + GB^2 + GC^2}{6} = MI^2 + NK^2 = IK^2 \] Do đó, MN = IK. b. Để chứng minh tứ giác MNIK là hình gì, ta cần xem xét các tính chất của nó. Do MN = IK và MI = NK, nên tứ giác MNIK là một hình bình hành.