Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E Gọi M là trung điểm của BE, tia AM cắt BC tại G. Kẻ El vu...

a,Ta có $\displaystyle AH\perp BC\ và\ DE\perp BC\ \Rightarrow AH// DE$ hay $\displaystyle HI// DE$
Có $\displaystyle EI\perp AH\ và\ HC\perp AH\ \Rightarrow EI// HC$ hay $\displaystyle HD// EI$
Xét tứ giác HDEI có $\displaystyle HI// DE\ và\ HD// EI$
$\displaystyle \Rightarrow $tứ giác HDEI là hình bình hành
Mà $\displaystyle \widehat{DHI} =90^{o} \ \Rightarrow $HDEI là hình chữ nhật
b,Xét tam giác AHD có $\displaystyle HA=HD\ và\ \widehat{AHD} =90^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow \Delta AHD$ vuông cân tại H $\displaystyle \Rightarrow \widehat{HDA} =45^{o}$
Xét tam giác CED và CBA có $\displaystyle \hat{C}$ chung
$\displaystyle \hat{D} =\hat{A} =90^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow \Delta CED\ đồng\ dạng\Delta CBA$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{CD}{CA} =\frac{CE}{CB} \Rightarrow \frac{CD}{CE} =\frac{CA}{CB}$
Xét tam giác CAD và CBE có $\displaystyle \hat{C}$ chung $\displaystyle \frac{CD}{CE} =\frac{CA}{CB}$
$\displaystyle \Rightarrow \Delta CAD\ đồng\ dạng\Delta CBE\ \Rightarrow \widehat{BEC} =\widehat{ADC}$
Ta có $\displaystyle \widehat{ADC} +\widehat{HDA} =180^{o}$
$\displaystyle \widehat{BEC} +\widehat{BEA} =180^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BEC} =\widehat{ADC}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{HDA} =\widehat{BEA}$
mà $\displaystyle \widehat{HDA} =45^{o} \ \Rightarrow \widehat{BEA} =45^{o}$
Xét $\displaystyle \Delta ABE\ $có $\displaystyle \hat{A} =90^{o} ,\ \widehat{BEA} =45^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow \Delta ABE$ vuông cân
$\displaystyle \Rightarrow AB=AE$