Cho ∆ABC có trung tuyến AM, MD là tia phân giác của góc AMB. Kẻ DE//BC (E€AC) a, chứng minh EA/EC = AM/BM b, chứng minh ME là tia phân giác của Góc AMC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số khái niệm và định lý trong hình học tam giác. a) Để chứng minh EA/EC = AM/BM, ta sẽ sử dụng định lý tương tự tam giác. Đầu tiên, ta biết rằng DE//BC, vì vậy ta có các cặp góc tương đồng sau: \(\angle AED \sim \angle CEB\) (do cặp góc đồng quy) \(\angle EAD \sim \angle ECB\) (do cặp góc đồng quy) Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác AED và CEB: \(\frac{EA}{EC} = \frac{AD}{CB}\) (định lý tương tự tam giác) Tiếp theo, ta sẽ sử dụng định lý phân giác góc để tính tỉ số \(\frac{AD}{CB}\). Gọi P là giao điểm của MD và AC. Ta biết rằng MD là tia phân giác của góc AMB, do đó ta có: \(\angle AMD = \angle BMD\) \(\angle AMP = \angle BMP\) Vì vậy, ta có hai tam giác AMP và BMP là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc bằng nhau). Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này: \(\frac{AM}{BM} = \frac{AP}{BP}\) (định lý tương tự tam giác) Tiếp theo, ta sẽ sử dụng định lý phân giác góc để tính tỉ số \(\frac{AP}{BP}\). Gọi Q là giao điểm của ME và AC. Ta biết rằng ME là tia phân giác của góc AMC, do đó ta có: \(\angle AME = \angle CME\) \(\angle AQM = \angle BQM\) Vì vậy, ta có hai tam giác AMQ và BMQ là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc bằng nhau). Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này: \(\frac{AM}{BM} = \frac{AQ}{BQ}\) (định lý tương tự tam giác) Tóm lại, ta đã có các tỉ số sau: \(\frac{EA}{EC} = \frac{AD}{CB}\) \(\frac{AM}{BM} = \frac{AP}{BP}\) \(\frac{AM}{BM} = \frac{AQ}{BQ}\) Vì vậy, ta có: \(\frac{EA}{EC} = \frac{AD}{CB} = \frac{AP}{BP} = \frac{AQ}{BQ}\) Do đó, ta có thể kết luận rằng EA/EC = AM/BM. b) Để chứng minh ME là tia phân giác của góc AMC, ta sẽ sử dụng định lý phân giác góc. Gọi N là giao điểm của ME và AB. Ta cần chứng minh rằng \(\angle AME = \angle EMC\). Vì ME là tia phân giác của góc AMC, ta có: \(\angle AME = \angle CME\) Ta biết rằng MD là tia phân giác của góc AMB, do đó ta có: \(\angle AMD = \angle BMD\) Vì N là giao điểm của ME và AB, ta có: \(\angle ANM = \angle BNM\) Từ đó, ta có hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc bằng nhau). Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác này: \(\frac{AM}{BM} = \frac{AN}{BN}\) (định lý tương tự tam giác) Vì vậy, ta có: \(\frac{AM}{BM} = \frac{AN}{BN}\) Do đó, ta có thể kết luận rằng ME là tia phân giác của góc AMC.