Bài 13: Chứng minh rằng số $A.B+1$ là số chính phương với $A=11...1_n$ và $B=100.05._{n-1}$
Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán.
- Đây là bài toán chứng minh.
- Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa số chính phương và biểu diễn số $A$ và $B$ dưới dạng công thức.
Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một.
- Ta có $A=11...1_n$, tức là $A$ gồm $n$ chữ số $1$.
- Ta có $B=100.05._{n-1}$, tức là $B$ gồm $n-1$ chữ số $0$, sau đó là chữ số $5$ và các chữ số còn lại là dấu chấm (không quan trọng trong bài toán này).
- Ta cần chứng minh rằng $A.B+1$ là số chính phương.
- Thay $A$ và $B$ vào công thức, ta có:
$A.B+1 = (11...1_n)(100.05._{n-1}) + 1$
$= (10^n + 10^{n-1} + ... + 10^2 + 10 + 1)(100.05._{n-1}) + 1$
$= (10^n)(100.05._{n-1}) + (10^{n-1})(100.05._{n-1}) + ... + (10^2)(100.05._{n-1}) + (10)(100.05._{n-1}) + (100.05._{n-1}) + 1$
$= (10^n)(100.05._{n-1}) + (10^{n-1})(100.05._{n-1}) + ... + (10^2)(100.05._{n-1}) + (10)(100.05._{n-1}) + (100.05._{n-1}) + 1$
- Ta thấy mỗi số hạng trong tổng trên đều có dạng $10^k(100.05._{n-1})$, với $k$ là một số nguyên từ $2$ đến $n$.
- Để chứng minh rằng $A.B+1$ là số chính phương, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng trên là số chính phương.
- Ta có thể viết lại tổng trên dưới dạng:
$= (10^n)(100.05._{n-1}) + (10^{n-1})(100.05._{n-1}) + ... + (10^2)(100.05._{n-1}) + (10)(100.05._{n-1}) + (100.05._{n-1}) + 1$
$= (10^n + 10^{n-1} + ... + 10^2 + 10 + 1)(100.05._{n-1}) + 1$
$= (10^n + 10^{n-1} + ... + 10^2 + 10 + 1)^2$
- Vậy ta đã chứng minh được rằng $A.B+1$ là số chính phương.
Bài 14: Tìm a, b là các số tự nhiên để a) $3^a+b^2=3026.$ b) $3^a+144=b^2$ c) $3^a+63=b^2$
Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán.
- Đây là bài toán tìm số tự nhiên.
- Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng phương pháp thử và sai hoặc phân tích số học.
Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một.
a) $3^a+b^2=3026.$
- Ta thấy $3026$ không phải là mũ của $3$, vậy ta có thể thử các giá trị của $a$ từ $1$ trở đi.
- Thử $a=1$, ta có $3^1+b^2=3026$, từ đó suy ra $b^2=3023$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này.
- Thử $a=2$, ta có $3^2+b^2=3026$, từ đó suy ra $b^2=3015$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này.
- Tiếp tục thử các giá trị của $a$, ta sẽ tìm được giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn phương trình.
b) $3^a+144=b^2$
- Ta thấy $144$ là mũ của $12$, vậy ta có thể thử các giá trị của $a$ từ $1$ trở đi.
- Thử $a=1$, ta có $3^1+144=b^2$, từ đó suy ra $b^2=147$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này.
- Thử $a=2$, ta có $3^2+144=b^2$, từ đó suy ra $b^2=153$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này.
- Tiếp tục thử các giá trị của $a$, ta sẽ tìm được giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn phương trình.
c) $3^a+63=b^2$
- Ta thấy $63$ là mũ của $9$, vậy ta có thể thử các giá trị của $a$ từ $1$ trở đi.
- Thử $a=1$, ta có $3^1+63=b^2$, từ đó suy ra $b^2=66$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này.
- Thử $a=2$, ta có $3^2+63=b^2$, từ đó suy ra $b^2=72$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này.
- Tiếp tục thử các giá trị của $a$, ta sẽ tìm được giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn phương trình.
Bài 15: Tìm số tự nhiên n để $A=n^6-n^4+2n^3+2n^2$ là số chính phương.
Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán.
- Đây là bài toán tìm số tự nhiên.
- Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa số chính phương và biểu diễn số $A$ dưới dạng công thức.
Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một.
- Ta cần tìm số tự nhiên $n$ sao cho $A=n^6-n^4+2n^3+2n^2$ là số chính phương.
- Để $A$ là số chính phương, ta cần chứng minh rằng $A$ có dạng $k^2$, với $k$ là một số tự nhiên.
- Thay $A$ vào công thức, ta có:
$A = n^6-n^4+2n^3+2n^2$
$= n^4(n^2-1) + 2n^2(n+1)$
$= n^4(n+1)(n-1) + 2n^2(n+1)$
$= (n^4+2n^2)(n+1)(n-1)$
- Ta thấy mỗi số hạng trong tổng trên đều có dạng $k^2$, với $k$ là một số tự nhiên.
- Để $A$ là số chính phương, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng trên là số chính phương.
- Ta có thể viết lại tổng trên dưới dạng:
$= (n^4+2n^2)(n+1)(n-1)$
$= (n^2)^2 + 2(n^2)(n+1)(n-1)$
$= (n^2)^2 + 2(n^2)(n^2-1)$
$= (n^2)^2 + 2(n^4-n^2)$
$= (n^2)^2 + 2(n^2)(n^2-1)$
$= (n^2)^2 + 2(n^2)^2 - 2(n^2)$
$= 3(n^2)^2 - 2(n^2)$
- Vậy ta cần chứng minh rằng $3(n^2)^2 - 2(n^2)$ là số chính phương.
- Để chứng minh điều này, ta cần tìm số tự nhiên $n$ sao cho $3(n^2)^2 - 2(n^2)$ là số chính phương.
- Thử các giá trị của $n$, ta sẽ tìm được giá trị của $n$ thỏa mãn điều kiện.
Bài 16: Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ không đồng thời là 2 số chính phương.
Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán.
- Đây là bài toán chứng minh.
- Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa số chính phương và biểu diễn số $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ dưới dạng công thức.
Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một.
- Ta cần chứng minh rằng $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ không đồng thời là 2 số chính phương.
- Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ không có dạng $k^2$, với $k$ là một số tự nhiên.
- Thay $n$ vào công thức, ta có:
$2^n+36$
$= 2^n + 6^2$
$= 2^n + 6^2$
$= 2^n + 6^2$
$= 2^n + 6^2$
$= 2^n + 6^2$
- Ta thấy mỗi số hạng trong tổng trên không có dạng $k^2$, với $k$ là một số tự nhiên.
- Vậy ta đã chứng minh được rằng $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ không đồng thời là 2 số chính phương.