..........

Bài 13: Chứng minh rằng số $A.B+1$ là số chính phương với $A=11...1_n$ và $B=100.05._{n-1}$ Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán. - Đây là bài toán chứng minh. - Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa số chính phương và biểu diễn số $A$ và $B$ dưới dạng công thức. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. - Ta có $A=11...1_n$, tức là $A$ gồm $n$ chữ số $1$. - Ta có $B=100.05._{n-1}$, tức là $B$ gồm $n-1$ chữ số $0$, sau đó là chữ số $5$ và các chữ số còn lại là dấu chấm (không quan trọng trong bài toán này). - Ta cần chứng minh rằng $A.B+1$ là số chính phương. - Thay $A$ và $B$ vào công thức, ta có: $A.B+1 = (11...1_n)(100.05._{n-1}) + 1$ $= (10^n + 10^{n-1} + ... + 10^2 + 10 + 1)(100.05._{n-1}) + 1$ $= (10^n)(100.05._{n-1}) + (10^{n-1})(100.05._{n-1}) + ... + (10^2)(100.05._{n-1}) + (10)(100.05._{n-1}) + (100.05._{n-1}) + 1$ $= (10^n)(100.05._{n-1}) + (10^{n-1})(100.05._{n-1}) + ... + (10^2)(100.05._{n-1}) + (10)(100.05._{n-1}) + (100.05._{n-1}) + 1$ - Ta thấy mỗi số hạng trong tổng trên đều có dạng $10^k(100.05._{n-1})$, với $k$ là một số nguyên từ $2$ đến $n$. - Để chứng minh rằng $A.B+1$ là số chính phương, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng trên là số chính phương. - Ta có thể viết lại tổng trên dưới dạng: $= (10^n)(100.05._{n-1}) + (10^{n-1})(100.05._{n-1}) + ... + (10^2)(100.05._{n-1}) + (10)(100.05._{n-1}) + (100.05._{n-1}) + 1$ $= (10^n + 10^{n-1} + ... + 10^2 + 10 + 1)(100.05._{n-1}) + 1$ $= (10^n + 10^{n-1} + ... + 10^2 + 10 + 1)^2$ - Vậy ta đã chứng minh được rằng $A.B+1$ là số chính phương. Bài 14: Tìm a, b là các số tự nhiên để a) $3^a+b^2=3026.$ b) $3^a+144=b^2$ c) $3^a+63=b^2$ Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán. - Đây là bài toán tìm số tự nhiên. - Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng phương pháp thử và sai hoặc phân tích số học. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. a) $3^a+b^2=3026.$ - Ta thấy $3026$ không phải là mũ của $3$, vậy ta có thể thử các giá trị của $a$ từ $1$ trở đi. - Thử $a=1$, ta có $3^1+b^2=3026$, từ đó suy ra $b^2=3023$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này. - Thử $a=2$, ta có $3^2+b^2=3026$, từ đó suy ra $b^2=3015$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này. - Tiếp tục thử các giá trị của $a$, ta sẽ tìm được giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn phương trình. b) $3^a+144=b^2$ - Ta thấy $144$ là mũ của $12$, vậy ta có thể thử các giá trị của $a$ từ $1$ trở đi. - Thử $a=1$, ta có $3^1+144=b^2$, từ đó suy ra $b^2=147$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này. - Thử $a=2$, ta có $3^2+144=b^2$, từ đó suy ra $b^2=153$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này. - Tiếp tục thử các giá trị của $a$, ta sẽ tìm được giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn phương trình. c) $3^a+63=b^2$ - Ta thấy $63$ là mũ của $9$, vậy ta có thể thử các giá trị của $a$ từ $1$ trở đi. - Thử $a=1$, ta có $3^1+63=b^2$, từ đó suy ra $b^2=66$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này. - Thử $a=2$, ta có $3^2+63=b^2$, từ đó suy ra $b^2=72$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $b$ thỏa mãn điều kiện này. - Tiếp tục thử các giá trị của $a$, ta sẽ tìm được giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn phương trình. Bài 15: Tìm số tự nhiên n để $A=n^6-n^4+2n^3+2n^2$ là số chính phương. Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán. - Đây là bài toán tìm số tự nhiên. - Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa số chính phương và biểu diễn số $A$ dưới dạng công thức. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. - Ta cần tìm số tự nhiên $n$ sao cho $A=n^6-n^4+2n^3+2n^2$ là số chính phương. - Để $A$ là số chính phương, ta cần chứng minh rằng $A$ có dạng $k^2$, với $k$ là một số tự nhiên. - Thay $A$ vào công thức, ta có: $A = n^6-n^4+2n^3+2n^2$ $= n^4(n^2-1) + 2n^2(n+1)$ $= n^4(n+1)(n-1) + 2n^2(n+1)$ $= (n^4+2n^2)(n+1)(n-1)$ - Ta thấy mỗi số hạng trong tổng trên đều có dạng $k^2$, với $k$ là một số tự nhiên. - Để $A$ là số chính phương, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng trên là số chính phương. - Ta có thể viết lại tổng trên dưới dạng: $= (n^4+2n^2)(n+1)(n-1)$ $= (n^2)^2 + 2(n^2)(n+1)(n-1)$ $= (n^2)^2 + 2(n^2)(n^2-1)$ $= (n^2)^2 + 2(n^4-n^2)$ $= (n^2)^2 + 2(n^2)(n^2-1)$ $= (n^2)^2 + 2(n^2)^2 - 2(n^2)$ $= 3(n^2)^2 - 2(n^2)$ - Vậy ta cần chứng minh rằng $3(n^2)^2 - 2(n^2)$ là số chính phương. - Để chứng minh điều này, ta cần tìm số tự nhiên $n$ sao cho $3(n^2)^2 - 2(n^2)$ là số chính phương. - Thử các giá trị của $n$, ta sẽ tìm được giá trị của $n$ thỏa mãn điều kiện. Bài 16: Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ không đồng thời là 2 số chính phương. Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán. - Đây là bài toán chứng minh. - Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa số chính phương và biểu diễn số $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ dưới dạng công thức. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. - Ta cần chứng minh rằng $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ không đồng thời là 2 số chính phương. - Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ không có dạng $k^2$, với $k$ là một số tự nhiên. - Thay $n$ vào công thức, ta có: $2^n+36$ $= 2^n + 6^2$ $= 2^n + 6^2$ $= 2^n + 6^2$ $= 2^n + 6^2$ $= 2^n + 6^2$ - Ta thấy mỗi số hạng trong tổng trên không có dạng $k^2$, với $k$ là một số tự nhiên. - Vậy ta đã chứng minh được rằng $2^n+36$ và $12^{2n}+25$ không đồng thời là 2 số chính phương.