..........

Bài 13: Chứng minh rằng số $$ là số chính phương với $$ và $$ Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán. - Đây là bài toán chứng minh. - Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa số chính phương và biểu diễn số $$ và $$ dưới dạng công thức. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. - Ta có $$, tức là $$ gồm $$ chữ số $$. - Ta có $$, tức là $$ gồm $$ chữ số $$, sau đó là chữ số $$ và các chữ số còn lại là dấu chấm (không quan trọng trong bài toán này). - Ta cần chứng minh rằng $$ là số chính phương. - Thay $$ và $$ vào công thức, ta có: $$ $$ $$ $$ - Ta thấy mỗi số hạng trong tổng trên đều có dạng $$, với $$ là một số nguyên từ $$ đến $$. - Để chứng minh rằng $$ là số chính phương, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng trên là số chính phương. - Ta có thể viết lại tổng trên dưới dạng: $$ $$ $$ - Vậy ta đã chứng minh được rằng $$ là số chính phương. Bài 14: Tìm a, b là các số tự nhiên để a) $$ b) $$ c) $$ Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán. - Đây là bài toán tìm số tự nhiên. - Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng phương pháp thử và sai hoặc phân tích số học. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. a) $$ - Ta thấy $$ không phải là mũ của $$, vậy ta có thể thử các giá trị của $$ từ $$ trở đi. - Thử $$, ta có $$, từ đó suy ra $$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $$ thỏa mãn điều kiện này. - Thử $$, ta có $$, từ đó suy ra $$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $$ thỏa mãn điều kiện này. - Tiếp tục thử các giá trị của $$, ta sẽ tìm được giá trị của $$ và $$ thỏa mãn phương trình. b) $$ - Ta thấy $$ là mũ của $$, vậy ta có thể thử các giá trị của $$ từ $$ trở đi. - Thử $$, ta có $$, từ đó suy ra $$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $$ thỏa mãn điều kiện này. - Thử $$, ta có $$, từ đó suy ra $$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $$ thỏa mãn điều kiện này. - Tiếp tục thử các giá trị của $$, ta sẽ tìm được giá trị của $$ và $$ thỏa mãn phương trình. c) $$ - Ta thấy $$ là mũ của $$, vậy ta có thể thử các giá trị của $$ từ $$ trở đi. - Thử $$, ta có $$, từ đó suy ra $$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $$ thỏa mãn điều kiện này. - Thử $$, ta có $$, từ đó suy ra $$. Tuy nhiên, không có số tự nhiên $$ thỏa mãn điều kiện này. - Tiếp tục thử các giá trị của $$, ta sẽ tìm được giá trị của $$ và $$ thỏa mãn phương trình. Bài 15: Tìm số tự nhiên n để $$ là số chính phương. Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán. - Đây là bài toán tìm số tự nhiên. - Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa số chính phương và biểu diễn số $$ dưới dạng công thức. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. - Ta cần tìm số tự nhiên $$ sao cho $$ là số chính phương. - Để $$ là số chính phương, ta cần chứng minh rằng $$ có dạng $$, với $$ là một số tự nhiên. - Thay $$ vào công thức, ta có: $$ $$ $$ $$ - Ta thấy mỗi số hạng trong tổng trên đều có dạng $$, với $$ là một số tự nhiên. - Để $$ là số chính phương, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng trên là số chính phương. - Ta có thể viết lại tổng trên dưới dạng: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ - Vậy ta cần chứng minh rằng $$ là số chính phương. - Để chứng minh điều này, ta cần tìm số tự nhiên $$ sao cho $$ là số chính phương. - Thử các giá trị của $$, ta sẽ tìm được giá trị của $$ thỏa mãn điều kiện. Bài 16: Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng $$ và $$ không đồng thời là 2 số chính phương. Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán. - Đây là bài toán chứng minh. - Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa số chính phương và biểu diễn số $$ và $$ dưới dạng công thức. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. - Ta cần chứng minh rằng $$ và $$ không đồng thời là 2 số chính phương. - Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng $$ và $$ không có dạng $$, với $$ là một số tự nhiên. - Thay $$ vào công thức, ta có: $$ $$ $$ $$ $$ $$ - Ta thấy mỗi số hạng trong tổng trên không có dạng $$, với $$ là một số tự nhiên. - Vậy ta đã chứng minh được rằng $$ và $$ không đồng thời là 2 số chính phương.