Cho đường tròn ( O ) đường kính AB , C là điểm bất kỳ trên đường tròn ( C khác A , B ) . Gọi H là hình chiếu của C trên AB , M là trung điểm của CH . Kẻ tia MK vuông góc với CO ( K thuộc OC ) cắt đường...

Kẻ CI là đường kính đường tròn (O)
Xét đường tròn (O) có đường kính CI, 
có E nằm trên (O)
⟹ $\displaystyle \widehat{CEI} \ =\ 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⟹ $\displaystyle CE\ \bot \ EI$
Xét $\displaystyle \vartriangle CEI\ $có $\displaystyle \widehat{CEI} \ =\ 90^{0}$
⟹ $\displaystyle \vartriangle CEI\ $vuông tại E
Xét $\displaystyle \vartriangle CEI\ $vuông tại E có $\displaystyle EK\ \bot \ CI$
⟹ $\displaystyle CE^{2} \ =\ CK.CI\ ( 1)$
Xét $\displaystyle \vartriangle CKM$ và $\displaystyle \vartriangle CHO\ $có
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{CKM} \ =\ \widehat{CHO} \ =\ 90^{0}\\
\widehat{KCM} \ chung\\
\Longrightarrow \ \vartriangle CKM\ \sim \ \vartriangle CHO\ ( g-g)\\
\Longrightarrow \ \frac{CM}{CK} \ =\ \frac{CO}{CH}\\
\Longrightarrow \ CH\ =\ \frac{CK.CO}{CM}\\
\Longrightarrow \ CH\ =\ \frac{CK.CI}{2CM}
\end{array}$
Vì M là trung điểm CH ⟹ $\displaystyle CH\ =\ 2CM$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow CH\ =\ \frac{CK.CI}{2CM} \ =\ \frac{CK.CI}{CH}\\
\Longrightarrow \ CH^{2} \ =\ CK.CI\ ( 2)
\end{array}$
(1), (2) ⟹ $\displaystyle CE\ =\ CH$
⟹ $\displaystyle \vartriangle CEH$ cân tại C