Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A (AB <AC) có AH là đường cao. Vẽ HM ( AB tại M và HN ( AC tại N. a) Chứng minh: tứ giác AMHN là hình chữ nhật. b) Vẽ điểm D đối xứng với A qua N. Chứng minh: tứ giác MHDN là...

Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Vẽ HM (AB tại M và HN (AC tại N. a) Chứng minh: tứ giác AMHN là hình chữ nhật. Bước 1: Ta cần chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. Bước 2: Để chứng minh AMHN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối nhau của tứ giác này là song song và bằng nhau. Bước 3: Ta biết AH là đường cao của ∆ABC, nên AH vuông góc với BC. Bước 4: Vì AH vuông góc với BC, nên AM và HN cũng vuông góc với BC. Bước 5: Do đó, AM và HN là hai đường thẳng song song. Bước 6: Ta cần chứng minh AM = HN. Bước 7: Ta biết AH là đường cao của ∆ABC, nên AM = AB - BM và HN = AC - CN. Bước 8: Ta có AB < AC, nên BM > CN. Bước 9: Vì AM = AB - BM và HN = AC - CN, nên AM > HN. Bước 10: Từ Bước 8 và Bước 9, ta suy ra AM = HN. Bước 11: Vì AM và HN là hai đường thẳng song song và AM = HN, nên tứ giác AMHN là hình chữ nhật. b) Vẽ điểm D đối xứng với A qua N. Chứng minh: tứ giác MHDN là hình bình hành. Bước 1: Ta cần chứng minh tứ giác MHDN là hình bình hành. Bước 2: Để chứng minh MHDN là hình bình hành, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối nhau của tứ giác này là bằng nhau và song song. Bước 3: Vẽ điểm D đối xứng với A qua N. Bước 4: Ta cần chứng minh MD = HN và MH = DN. Bước 5: Vì D là điểm đối xứng của A qua N, nên AD = DN. Bước 6: Ta biết AH là đường cao của ∆ABC, nên MH vuông góc với BC. Bước 7: Vì MH vuông góc với BC, nên MH = BM. Bước 8: Từ Bước 5 và Bước 7, ta suy ra MD = HN và MH = DN. Bước 9: Vì MD = HN và MH = DN, nên tứ giác MHDN là hình bình hành. c) Vẽ AE vuông góc HD tại E. Chứng minh: ME vuông góc NE. Bước 1: Ta cần chứng minh ME vuông góc NE. Bước 2: Để chứng minh ME vuông góc NE, ta cần chứng minh AE vuông góc HD và ME = NE. Bước 3: Vẽ AE vuông góc HD tại E. Bước 4: Ta cần chứng minh AE vuông góc HD. Bước 5: Vì AE vuông góc HD tại E, nên AE và HD là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Bước 6: Ta biết AH là đường cao của ∆ABC, nên AH vuông góc với BC. Bước 7: Vì AH vuông góc với BC và AE vuông góc HD, nên AE song song với BC. Bước 8: Từ Bước 7, ta suy ra ME vuông góc NE. Bước 9: Ta cần chứng minh ME = NE. Bước 10: Ta biết AH là đường cao của ∆ABC, nên ME = AE - AM và NE = AE - AN. Bước 11: Ta đã chứng minh AM = HN trong bước a), nên AM + AN = HN + AN. Bước 12: Từ Bước 10 và Bước 11, ta suy ra ME = NE. Bước 13: Vì ME = NE, nên ME vuông góc NE. Kết luận: Từ các bước chứng minh trên, ta đã chứng minh được rằng tứ giác AMHN là hình chữ nhật, tứ giác MHDN là hình bình hành và ME vuông góc NE.