Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), D là trung điểm của BC trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE=DA . Gọi H và K thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống đường thẳng AE . M là chân đường v...

1. Đây là một bài toán hình học trong tam giác vuông. Chúng ta cần sử dụng các định lý và tính chất của tam giác vuông để chứng minh và giải quyết các yêu cầu của bài toán. a) Để chứng minh BK = CH, ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác vuông. Ta biết rằng BH là đường cao của tam giác ABC, do đó ta có BH ⊥ AC. Tương tự, CK cũng là đường cao của tam giác ABC, nên CK ⊥ AB. Vì vậy, ta có hai đường thẳng BH và CK đồng quy tại A. Do đó, theo định lý đồng quy, ta có BK = CH. b) Để chứng minh CD > MK, ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và đường cao trong tam giác vuông. Ta biết rằng D là trung điểm của BC, nên BD = DC. Vì vậy, ta có BD = DC = DM. Do đó, tam giác BDM là tam giác đều. Từ đó, ta có BM = DM. Tiếp theo, ta biết rằng M là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC, nên MK ⊥ AC. Vì vậy, ta có MK ⊥ BC. Do tam giác BDM là tam giác đều, nên ta có MK ⊥ BD. Vì vậy, ta có MK ⊥ BC và MK ⊥ BD. Do đó, ta có CD > MK. c) Để chứng minh ba điểm D, M, N thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao và đường vuông góc trong tam giác vuông. Ta biết rằng E là điểm trên tia đối của tia DA sao cho DE = DA. Vì vậy, ta có DE = DA = DM. Do đó, tam giác EDM là tam giác cân. Từ đó, ta có EM ⊥ BC. Tiếp theo, ta biết rằng H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE, nên BH ⊥ AE. Vì vậy, ta có BH ⊥ BC. Do đó, ta có EM ⊥ BC và BH ⊥ BC. Vì vậy, ta có EM || BH. Từ đó, theo định lý song song, ta có EN || BM. Do đó, ta có EN ⊥ BC. Vì vậy, ta có EN ⊥ BH. Do đó, ta có EN ⊥ BH và EN ⊥ BC. Vì vậy, ta có EN ⊥ (BH, BC). Do đó, ta có N là chân đường vuông góc hạ từ E xuống BC. Vì vậy, ta có DN ⊥ BC. Do đó, ta có DN ⊥ (BH, BC). Vì vậy, ta có DN ⊥ (BH, BC) và DN ⊥ (EM, BC). Do đó, ta có DN ⊥ (BH, EM). Vì vậy, ta có DN ⊥ (BH, EM, BC). Do đó, ta có ba điểm D, M, N thẳng hàng. d) Để chứng minh tam giác CEF là tam giác cân, ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác và tam giác vuông. Ta biết rằng F là giao điểm của tia phân giác của ∠ACB và AD. Vì vậy, ta có ∠CAF = ∠FAC. Từ đó, ta có ∠CAF = ∠FAC = ∠ACF. Do đó, tam giác CAF là tam giác cân. Tiếp theo, ta biết rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có ∠CAB = 90°. Từ đó, ta có ∠CAF + ∠CAB = 90° + ∠CAF. Do đó, ta có ∠CAF = 90° - ∠CAB/2. Vì vậy, ta có ∠CAF = 90° - 36°/2 = 90° - 18° = 72°. Tương tự, ta có ∠CFA = 72°. Vì vậy, ta có ∠CAF = ∠CFA = 72°. Do đó, tam giác CEF là tam giác cân.