tớ cần gấp ạ 6. Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, AM là trung tuyến kẻ $HM\bot AB,$,$HN\bot AC(M\in AB,N\in AC)$,a) CM với giá AMH N là hcn,b) Tìm ĐK của $\Delta ABC$ để AH MN là hv,c) Trên tia đối MH lấy P sao cho $MP=MH$,CM tứ giác APBM là hình khoi.

Question

kimngoc · Accepted Answer

Sửa lại: AH là trung tuyến
a) Ta có $\displaystyle \widehat{AMH} =90^{0}$ ( do HM vuông góc với AB); $\displaystyle \widehat{ANH} =90^{0}$ ( do HN vuông góc với AC)
Tứ giác AMHN có $\displaystyle \hat{A} =90^{0} ;\widehat{AMH} =90^{0} ;\ \widehat{ANH} =90^{0} \ $
⟹ AMHN là hình chữ nhật
b) Hình chữ nhật AMHN là hình vuông => AM = MH
Mà MH = 1/2AC (gt) nên AM = MH => AM = 1/2AC
Do AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AH = 1/2 BC
=> tam giác ABC vuông tại A.
Vậy, nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMHN là hình vuông
c) Ta có: $\displaystyle \begin{cases}
HM//AC & \
AC\bot AB &
\end{cases} \Longrightarrow \ HM\bot AB$
Mà M là trung điểm của AB và PH
⟹ APBH là hình thoi

Timi · Answer

Bài toán này thuộc loại bài toán hình học trong mặt phẳng. Để giải quyết bài toán, ta cần sử dụng các kiến thức về hình học tam giác, hình chữ nhật, hình vuông và tứ giác.

**Bước 1: Chứng minh AMHN là hình chữ nhật**
Để chứng minh AMHN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai đường chéo của nó bằng nhau và vuông góc với nhau.

Ta có:
- AM là trung tuyến của tam giác ABC, do đó AM = BM.
- HM vuông góc với AB và MN là đường cao của tam giác AMN, do đó HM vuông góc với MN.
- HN vuông góc với AC và MN là đường cao của tam giác AMN, do đó HN vuông góc với MN.

Vậy ta có AM = BM, HM vuông góc với MN và HN vuông góc với MN, từ đó suy ra AMHN là hình chữ nhật.

**Bước 2: Tìm điều kiện của tam giác ABC để AHMN là hình vuông**
Để AHMN là hình vuông, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
1. MN = AH
2. MN vuông góc với AB và AC

Ta có:
- MN là đường cao của tam giác AMN, do đó MN = 2AM (vì AM là trung tuyến).
- AH là đường cao của tam giác ABC, do đó AH = 2AM (vì AM là trung tuyến).

Vậy ta có MN = AH, thỏa mãn điều kiện 1.

Để chứng minh điều kiện 2, ta cần chứng minh MN vuông góc với AB và AC.

Ta biết rằng HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC. Vì MN là đường cao của tam giác AMN, nên MN cũng vuông góc với AB và AC.

Vậy ta có MN vuông góc với AB và AC, thỏa mãn điều kiện 2.

Tóm lại, để AHMN là hình vuông, ta cần tam giác ABC có điều kiện: MN = AH và MN vuông góc với AB và AC.

**Bước 3: Chứng minh tứ giác APBM là hình khoi**
Để chứng minh tứ giác APBM là hình khoi, ta cần chứng minh các cạnh đối diện của nó bằng nhau và các cạnh liên tiếp vuông góc với nhau.

Ta có:
- MP = MH (theo đề bài)
- AM = BM (vì AM là trung tuyến)
- HM vuông góc với AB (theo đề bài)

Vậy ta có MP = MH, AM = BM và HM vuông góc với AB, từ đó suy ra tứ giác APBM là hình khoi.

Vậy bài toán đã được giải quyết.