chứng tỏ A=2+2²+2³+2⁴+.........2⁹⁹+2¹⁰⁰ chia hết cho 5 gắn gọn thôi ạ

Để chứng tỏ A chia hết cho 5, ta cần chứng minh rằng tổng của các số hạng trong dãy $2^n$ từ $n=0$ đến $n=100$ chia hết cho 5. Đầu tiên, ta xem xét các số hạng trong dãy $2^n$. Ta thấy rằng các số hạng này có chu kỳ lặp lại sau mỗi 4 số. Cụ thể, ta có: \[ \begin{align*} 2^0 & = 1 \\ 2^1 & = 2 \\ 2^2 & = 4 \\ 2^3 & = 8 \\ 2^4 & = 16 \\ 2^5 & = 32 \\ & \vdots \\ 2^{99} & = 2^{96} \times 2^3 = (2^4)^{24} \times 2^3 = 16^{24} \times 8 \\ 2^{100} & = 2^{96} \times 2^4 = (2^4)^{24} \times 2^4 = 16^{24} \times 16 \\ \end{align*} \] Tiếp theo, ta nhận thấy rằng tổng của các số hạng trong một chu kỳ là $1 + 2 + 4 + 8 = 15$. Do đó, tổng của các số hạng trong dãy $2^n$ từ $n=0$ đến $n=100$ sẽ bằng tổng của các chu kỳ lặp lại, kết hợp với số hạng cuối cùng không nằm trong chu kỳ. Ta có: \[ \begin{align*} A & = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{99} + 2^{100} \\ & = (1 + 2 + 4 + 8) \times \text{số chu kỳ} + 16^{24} \times 8 \\ & = 15 \times \left(\frac{100}{4}\right) + 16^{24} \times 8 \\ & = 375 + 16^{24} \times 8 \end{align*} \] Bây giờ, ta cần chứng minh rằng $16^{24} \times 8$ chia hết cho 5. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng $16^{24}$ chia hết cho 5. Ta biểu diễn $16^{24}$ dưới dạng $2^{24} \times 8^{24}$. Ta thấy rằng $2^{24}$ chia hết cho 5, vì 24 chia hết cho 4. Do đó, $16^{24}$ cũng chia hết cho 5. Vậy, ta có $A = 375 + 16^{24} \times 8$ chia hết cho 5.