chứng minh 1/2

Question

chứng minh 1/2<1/51+1/52+...+1/100<1

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $\frac{1}{2} < \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + ... + \frac{1}{100} < 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chứng minh $\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + ... + \frac{1}{100} < 1$ Ta thấy rằng mỗi phân số trong dãy $\frac{1}{51}, \frac{1}{52}, ..., \frac{1}{100}$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{51}$. Do đó, ta có thể viết: $$ \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + ... + \frac{1}{100} < \frac{1}{51} + \frac{1}{51} + ... + \frac{1}{51} $$ Số lượng các phân số trong dãy là: $$ 100 - 51 + 1 = 50 $$ Vậy ta có: $$ \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + ... + \frac{1}{100} < 50 \times \frac{1}{51} = \frac{50}{51} < 1 $$ Bước 2: Chứng minh $\frac{1}{2} < \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + ... + \frac{1}{100}$ Ta thấy rằng mỗi phân số trong dãy $\frac{1}{51}, \frac{1}{52}, ..., \frac{1}{100}$ đều lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{100}$. Do đó, ta có thể viết: $$ \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + ... + \frac{1}{100} > \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + ... + \frac{1}{100} $$ Số lượng các phân số trong dãy là: $$ 100 - 51 + 1 = 50 $$ Vậy ta có: $$ \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + ... + \frac{1}{100} > 50 \times \frac{1}{100} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} $$ Kết luận Từ hai bước trên, ta đã chứng minh được: $$ \frac{1}{2} < \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + ... + \frac{1}{100} < 1 $$