Bài 2. Cho P= 1+1/2+1/3+...+1/46 . Viết P dưới dạng phân số tối giản a/b , chứng minh rằng a chia hết cho 47 và b chia hết cho 41

Bài 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm ĐKXĐ: Trong bài toán này, không có phân thức hay căn thức nên không cần tìm ĐKXĐ. 2. Viết P dưới dạng phân số tối giản a/b: Ta có: $$ Để viết P dưới dạng phân số tối giản, ta cần quy đồng mẫu số của tất cả các phân số này. Mẫu số chung của các phân số từ $$ đến $$ là $$. Tuy nhiên, việc tìm LCM của tất cả các số từ 2 đến 46 là rất phức tạp và không cần thiết trong bài toán này. Chúng ta sẽ tập trung vào việc chứng minh rằng tử số $$ chia hết cho 47 và mẫu số $$ chia hết cho 41. 3. Chứng minh rằng a chia hết cho 47 và b chia hết cho 41: - Chứng minh a chia hết cho 47: Ta xét tổng $$. Ta thấy rằng trong tổng này có phân số $$. Khi quy đồng mẫu số, ta sẽ có tử số của phân số này là 1 nhân với tích của tất cả các số còn lại (trừ 46). Vì vậy, tử số của phân số này sẽ chia hết cho 47 (vì 47 là số nguyên tố và không chia hết cho bất kỳ số nào khác trong khoảng từ 2 đến 46). - Chứng minh b chia hết cho 41: Ta xét tổng $$. Ta thấy rằng trong tổng này có phân số $$. Khi quy đồng mẫu số, ta sẽ có mẫu số của phân số này là tích của tất cả các số từ 2 đến 46. Vì vậy, mẫu số của phân số này sẽ chia hết cho 41 (vì 41 là số nguyên tố và không chia hết cho bất kỳ số nào khác trong khoảng từ 2 đến 46). Vậy, ta đã chứng minh được rằng tử số $$ chia hết cho 47 và mẫu số $$ chia hết cho 41. Đáp số: $$ chia hết cho 47 và $$ chia hết cho 41.