cho ∆ABC nhọn, đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm của HA,HB,HC.Gọi Q,R là trung điểm của BC, AC.C/m: a)MNPR là hình chữ nhật b)D,E,F,M,N,P,Q,R cùng cách đều 1 điểm

a/ Xét $\displaystyle \vartriangle $ABH có:
M là trung điểm AH và N là trung điểm BH 
$\displaystyle \Rightarrow $MN là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle $ABH 
$\displaystyle \Rightarrow MN=\frac{1}{2} AB$ và MN // AB (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle $ABC có: 
Q là trung điểm BC và R là trung điểm AC 
$\displaystyle \Rightarrow $RQ là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle $ABC 
$\displaystyle \Rightarrow RQ=\frac{1}{2} AB$ và RQ // AB (2)
Từ (1)(2)$\displaystyle \Rightarrow $MN = RQ và MN // RQ
$\displaystyle \Rightarrow $MNQR là hình bình hành $\displaystyle ( *)$
Xét$\displaystyle \vartriangle $BHC có: 
N là trung điểm BH và Q là trung điểm CB
$\displaystyle \Rightarrow $NQ là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle $BHC
$\displaystyle \Rightarrow $NQ // HC 
Xét $\displaystyle \vartriangle $ABC có AD và BE là 2 đường cao cắt nhau tại H 
$\displaystyle \Rightarrow $H là trực tâm $\displaystyle \vartriangle $ABC
$\displaystyle \Rightarrow HC\bot AB\Rightarrow NQ\bot AB$
Mà MN // AB(cmt)$\displaystyle \Rightarrow NQ\bot MN\Rightarrow \widehat{MNQ} =90^{o}( **)$
Từ $\displaystyle ( *)( **) \Rightarrow $MNQR là hình chữ nhật (dpcm)

b/ Theo câu a, MNQR là hình chữ nhật
$\displaystyle \Rightarrow $OM=ON=OQ=OR (3)
Xét $\displaystyle \vartriangle $NER vuông tại E có: O là trung điểm NR
$\displaystyle \Rightarrow EO=ON=OR$ (4)
Xét $\displaystyle \vartriangle $MDQ vuông tại D có O là trung điểm MQ
$\displaystyle \Rightarrow OD=OM=OQ$ (5)
Xét $\displaystyle \vartriangle $FBH vuông tại F có N là trung điểm HB 
$\displaystyle \Rightarrow FN=NH\Rightarrow \vartriangle $FNH cân tại N$\displaystyle \Rightarrow \widehat{NFH} =\widehat{NHF}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $AFC vuông tại F có R là trung điểm AC 
$\displaystyle \Rightarrow FR=RC\Rightarrow \vartriangle $FRC cân tại R$\displaystyle \Rightarrow \widehat{RFC} =\widehat{FCR}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $EHC vuông tại E có: $\displaystyle \widehat{EHC} +\widehat{ECH} =90^{o}$
Lại có: $\displaystyle \widehat{FHN} =\widehat{EHC}$ (2 góc đối đỉnh)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{NFH} +\widehat{RFC} =90^{o} \Rightarrow \widehat{NFR} =90^{o}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $NFR vuông tại F có O là trung điểm NR
$\displaystyle \Rightarrow ON=OF=OR$ (6)
Xét $\displaystyle \vartriangle $AHC có: 
M là trung điểm HA và P là trung điểm HC
$\displaystyle \Rightarrow $MP là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle $AHC$\displaystyle \Rightarrow $MP // AC 
Chứng minh tương tự: PQ là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle $HBC$\displaystyle \Rightarrow $PQ // HB
Mà $\displaystyle HB\bot AC\Rightarrow MP\bot PQ$
Xét $\displaystyle \vartriangle $MPQ vuông tại P có O là trung điểm MQ
$\displaystyle \Rightarrow $OP = OM = OQ (7)
Từ (3)(4)(5)(6)(7)$\displaystyle \Rightarrow $OM=ON=OR=OQ=OP=OE=OD=OF
$\displaystyle \Rightarrow $M,N,Q,P,R,D,E,F cùng cách đều điểm O (đpcm)