Cần gấp chỉ với

1. Định dạng của bài toán: Bài toán này là một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Chúng ta cần tìm các giá trị của a và b sao cho biểu thức $T=(\log_{\sqrt[3]a}b)^3+\log_ba$ đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Giải bài toán: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T, chúng ta cần tìm điều kiện để biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm điều này, ta sẽ tính đạo hàm riêng của biểu thức T theo a và b và giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0. a) Tính đạo hàm riêng của biểu thức T theo a: Đầu tiên, ta tính đạo hàm riêng của $(\log_{\sqrt[3]a}b)^3$ theo a. Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm lôgarit, ta có: $\frac{\partial}{\partial a}(\log_{\sqrt[3]a}b)^3 = 3(\log_{\sqrt[3]a}b)^2 \cdot \frac{\partial}{\partial a}(\log_{\sqrt[3]a}b)$ Tiếp theo, ta tính đạo hàm riêng của $\log_{\sqrt[3]a}b$ theo a. Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm lôgarit, ta có: $\frac{\partial}{\partial a}\log_{\sqrt[3]a}b = \frac{1}{\ln(\sqrt[3]a)} \cdot \frac{\partial}{\partial a}b = \frac{1}{\ln(\sqrt[3]a)} \cdot 0 = 0$ Vì vậy, đạo hàm riêng của $(\log_{\sqrt[3]a}b)^3$ theo a là 0. Tiếp theo, ta tính đạo hàm riêng của $\log_ba$ theo a. Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm lôgarit, ta có: $\frac{\partial}{\partial a}\log_ba = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{\partial}{\partial a}a = \frac{1}{\ln b}$ Tổng hợp lại, đạo hàm riêng của biểu thức T theo a là: $\frac{\partial T}{\partial a} = 0 + \frac{1}{\ln b}$ b) Tính đạo hàm riêng của biểu thức T theo b: Đầu tiên, ta tính đạo hàm riêng của $(\log_{\sqrt[3]a}b)^3$ theo b. Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm lôgarit, ta có: $\frac{\partial}{\partial b}(\log_{\sqrt[3]a}b)^3 = 3(\log_{\sqrt[3]a}b)^2 \cdot \frac{\partial}{\partial b}(\log_{\sqrt[3]a}b)$ Tiếp theo, ta tính đạo hàm riêng của $\log_{\sqrt[3]a}b$ theo b. Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm lôgarit, ta có: $\frac{\partial}{\partial b}\log_{\sqrt[3]a}b = \frac{1}{\ln(\sqrt[3]a)} \cdot \frac{\partial}{\partial b}b = \frac{1}{\ln(\sqrt[3]a)}$ Tổng hợp lại, đạo hàm riêng của biểu thức T theo b là: $\frac{\partial T}{\partial b} = 3(\log_{\sqrt[3]a}b)^2 \cdot \frac{1}{\ln(\sqrt[3]a)} + \frac{1}{\ln b}$ Để biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất, cả hai đạo hàm riêng theo a và b phải bằng 0. Vì vậy, ta giải hệ phương trình sau đây: $\begin{cases} \frac{\partial T}{\partial a} = 0 \\ \frac{\partial T}{\partial b} = 0 \end{cases}$ Giải hệ phương trình này, ta tìm được các giá trị của a và b mà biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất. Tiếp theo, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức P.