Ví dụ: Một đoàn tàu có 4 toa được đánh số I, II, III, IV đỗ ở sân ga. Có 6 hành khách từ sân ga lên tàu. Mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để: a) Toa I có 3 người, toa I...

Giả sử chúng ta có 6 hành khách và 4 toa tàu được đánh số từ I đến IV. Chúng ta muốn tính xác suất cho các trường hợp sau: a) Toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người. b) Một toa có 3 người, một toa có 2 người, một toa có 1 người. c) Mỗi toa có ít nhất 1 người. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp xác suất. Trước tiên, chúng ta cần tính tổng số cách chọn 6 hành khách vào 4 toa tàu. Điều này có thể được tính bằng công thức tổ hợp. Công thức tổ hợp được biểu diễn bằng ký hiệu $\binom{n}{k}$, trong đó $n$ là số lượng phần tử trong tập hợp và $k$ là số lượng phần tử được chọn. Tổng số cách chọn 6 hành khách vào 4 toa tàu là $\binom{6}{4}$. Ta có thể tính giá trị này bằng cách sử dụng công thức tổ hợp: \[ \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = 15 \] Vậy tổng số cách chọn 6 hành khách vào 4 toa tàu là 15. a) Để tính xác suất cho trường hợp này, chúng ta cần tính số cách chọn 3 hành khách vào toa I, 2 hành khách vào toa II và 1 hành khách vào toa III. Ta có thể tính giá trị này bằng cách sử dụng công thức tổ hợp: \[ \binom{6}{3} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = \frac{6!}{3!(6-3)!} \times \frac{3!}{2!(3-2)!} \times \frac{1!}{1!(1-1)!} = 20 \] Vậy số cách chọn 3 hành khách vào toa I, 2 hành khách vào toa II và 1 hành khách vào toa III là 20. Để tính xác suất, chúng ta chia số cách chọn này cho tổng số cách chọn 6 hành khách vào 4 toa tàu: \[ P(a) = \frac{20}{15} = 0.06666666666666667 \] Vậy xác suất cho trường hợp a là 0.06666666666666667. b) Để tính xác suất cho trường hợp này, chúng ta cần tính số cách chọn 3 hành khách vào một toa, 2 hành khách vào một toa khác và 1 hành khách vào toa còn lại. Ta có thể tính giá trị này bằng cách sử dụng công thức tổ hợp: \[ \binom{6}{3} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = \frac{6!}{3!(6-3)!} \times \frac{3!}{2!(3-2)!} \times \frac{1!}{1!(1-1)!} = 20 \] Vậy số cách chọn 3 hành khách vào một toa, 2 hành khách vào một toa khác và 1 hành khách vào toa còn lại là 20. Để tính xác suất, chúng ta chia số cách chọn này cho tổng số cách chọn 6 hành khách vào 4 toa tàu: \[ P(b) = \frac{20}{15} = 0.13333333333333333 \] Vậy xác suất cho trường hợp b là 0.13333333333333333. c) Để tính xác suất cho trường hợp này, chúng ta cần tính số cách chọn ít nhất 1 hành khách vào mỗi toa. Ta có thể tính giá trị này bằng cách sử dụng phép bù: \[ 1 - \frac{\binom{6}{0} \times \binom{4}{6}}{\binom{6}{4}} = 1 - \frac{\frac{6!}{0!(6-0)!} \times \frac{4!}{6!(4-6)!}}{\frac{6!}{4!(6-4)!}} = 1 - \frac{1 \times 0}{15} = 1 - 0 = 1 \] Vậy số cách chọn ít nhất 1 hành khách vào mỗi toa là 1. Để tính xác suất, chúng ta trừ giá trị này từ 1: \[ P(c) = 1 - 1 = 0 \] Vậy xác suất cho trường hợp c là 0. Vậy đó là cách giải quyết bài toán này.