Tìm số hạng tổng quát, tính giới hạn.

Câu V: Ta sẽ tìm số hạng tổng quát \( u_n \) của dãy số đã cho bằng phương pháp giả thiết \( u_n = A \cdot 4^n + B \cdot n \cdot 4^n + C \). Bước 1: Giả sử \( u_n = A \cdot 4^n + B \cdot n \cdot 4^n + C \). Ta thay vào công thức truy hồi để tìm các hằng số \( A \), \( B \), và \( C \). Bước 2: Thay \( u_n = A \cdot 4^n + B \cdot n \cdot 4^n + C \) vào công thức truy hồi: \[ u_{n+1} = 4u_n + 3 \cdot 4^n + 6. \] Ta có: \[ u_{n+1} = A \cdot 4^{n+1} + B \cdot (n+1) \cdot 4^{n+1} + C. \] \[ 4u_n = 4(A \cdot 4^n + B \cdot n \cdot 4^n + C) = 4A \cdot 4^n + 4B \cdot n \cdot 4^n + 4C. \] Do đó: \[ A \cdot 4^{n+1} + B \cdot (n+1) \cdot 4^{n+1} + C = 4A \cdot 4^n + 4B \cdot n \cdot 4^n + 4C + 3 \cdot 4^n + 6. \] Bước 3: So sánh các hệ số tương ứng: \[ A \cdot 4^{n+1} + B \cdot (n+1) \cdot 4^{n+1} + C = 4A \cdot 4^n + 4B \cdot n \cdot 4^n + 4C + 3 \cdot 4^n + 6. \] Chia cả hai vế cho \( 4^n \): \[ 4A \cdot 4 + B \cdot (n+1) \cdot 4 + C = 4A + 4B \cdot n + 4C + 3 + 6. \] So sánh các hệ số: \[ 4A + 4B(n+1) + C = 4A + 4Bn + 4C + 9. \] Từ đây ta có: \[ 4B = 4B \Rightarrow B = B. \] \[ 4A + 4B + C = 4A + 4C + 9 \Rightarrow 4B + C = 4C + 9 \Rightarrow 4B - 3C = 9. \] Bước 4: Giải hệ phương trình: \[ 4B - 3C = 9. \] Chọn \( B = 1 \): \[ 4(1) - 3C = 9 \Rightarrow 4 - 3C = 9 \Rightarrow -3C = 5 \Rightarrow C = -\frac{5}{3}. \] Bước 5: Kiểm tra \( u_1 = 1 \): \[ u_1 = A \cdot 4^1 + B \cdot 1 \cdot 4^1 + C = 4A + 4B + C = 4A + 4(1) - \frac{5}{3} = 4A + 4 - \frac{5}{3} = 1. \] Giải phương trình: \[ 4A + 4 - \frac{5}{3} = 1 \Rightarrow 4A + \frac{12}{3} - \frac{5}{3} = 1 \Rightarrow 4A + \frac{7}{3} = 1 \Rightarrow 4A = 1 - \frac{7}{3} \Rightarrow 4A = -\frac{4}{3} \Rightarrow A = -\frac{1}{3}. \] Bước 6: Số hạng tổng quát \( u_n \) là: \[ u_n = -\frac{1}{3} \cdot 4^n + 1 \cdot n \cdot 4^n - \frac{5}{3} = \left(-\frac{1}{3} + n\right) \cdot 4^n - \frac{5}{3}. \] Bước 7: Tính giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{n \cdot 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(-\frac{1}{3} + n\right) \cdot 4^n - \frac{5}{3}}{n \cdot 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{1}{3} \cdot 4^n + n \cdot 4^n - \frac{5}{3}}{n \cdot 4^n}. \] Chia cả tử và mẫu cho \( 4^n \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{1}{3} + n - \frac{5}{3 \cdot 4^n}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n - \frac{1}{3} - \frac{5}{3 \cdot 4^n}}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3 \cdot 4^n}}{n}\right) = 1. \] Đáp số: \[ u_n = \left(n - \frac{1}{3}\right) \cdot 4^n - \frac{5}{3}, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{n \cdot 4^n} = 1. \]