Tìm min S. Cho hai số thực a b đều lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac1{\log_{ab}a}+\frac1{\log_{\sqrt[4]{ab}}b}.$

Question

Tìm min S. Cho hai số thực a  b đều lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac1{\log_{ab}a}+\frac1{\log_{\sqrt[4]{ab}}b}.$

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ S = \frac{1}{\log_{ab}a} + \frac{1}{\log_{\sqrt[4]{ab}}b} $, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit.

Trước tiên, chúng ta chuyển đổi cơ số của các logarit trong biểu thức $ S $.

1. Chuyển đổi cơ số của $ \log_{ab}a $:
   $$
   \log_{ab}a = \frac{\log a}{\log ab}
   $$
   Do đó:
   $$
   \frac{1}{\log_{ab}a} = \frac{\log ab}{\log a}
   $$

2. Chuyển đổi cơ số của $ \log_{\sqrt[4]{ab}}b $:
   $$
   \log_{\sqrt[4]{ab}}b = \frac{\log b}{\log (\sqrt[4]{ab})}
   $$
   Vì $ \sqrt[4]{ab} = (ab)^{1/4} $, nên:
   $$
   \log (\sqrt[4]{ab}) = \log (ab)^{1/4} = \frac{1}{4} \log (ab)
   $$
   Do đó:
   $$
   \log_{\sqrt[4]{ab}}b = \frac{\log b}{\frac{1}{4} \log (ab)} = \frac{4 \log b}{\log (ab)}
   $$
   Và:
   $$
   \frac{1}{\log_{\sqrt[4]{ab}}b} = \frac{\log (ab)}{4 \log b}
   $$

Bây giờ, chúng ta có thể viết lại biểu thức $ S $ như sau:
$$
S = \frac{\log ab}{\log a} + \frac{\log ab}{4 \log b}
$$

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để tìm giá trị nhỏ nhất của $ S $.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số $ \left( \frac{\log ab}{\log a}, \frac{\log ab}{4 \log b} \right) $:
$$
\left( \frac{\log ab}{\log a} + \frac{\log ab}{4 \log b} \right) \left( \log a + 4 \log b \right) \geq \left( \sqrt{\frac{\log ab}{\log a} \cdot \log a} + \sqrt{\frac{\log ab}{4 \log b} \cdot 4 \log b} \right)^2
$$

Đơn giản hóa vế phải:
$$
\left( \sqrt{\log ab} + \sqrt{\log ab} \right)^2 = (2 \sqrt{\log ab})^2 = 4 \log ab
$$

Do đó:
$$
S \cdot (\log a + 4 \log b) \geq 4 \log ab
$$

Chia cả hai vế cho $ \log a + 4 \log b $:
$$
S \geq \frac{4 \log ab}{\log a + 4 \log b}
$$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ S $, chúng ta cần tìm giá trị của $ \frac{4 \log ab}{\log a + 4 \log b} $.

Giả sử $ a = b $, thì:
$$
\log ab = \log a^2 = 2 \log a
$$
$$
\log a + 4 \log b = \log a + 4 \log a = 5 \log a
$$

Do đó:
$$
S = \frac{4 \cdot 2 \log a}{5 \log a} = \frac{8 \log a}{5 \log a} = \frac{8}{5}
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ S $ là $ \frac{8}{5} $, đạt được khi $ a = b $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ S $ là $ \frac{8}{5} $.