Cho các số nguyên dương a, b, m, n thỏa mãn (a, b)=1 và $ \frac{m^2+n^2}{a}=\frac{mn}{b} $ Chứng minh rằng: $\sqrt[2]{a+2b}+\sqrt[2]{a-2b}$ là số nguyên.

Bài toán này thuộc loại bài toán đại số, trong đó chúng ta cần chứng minh một biểu thức là một số nguyên dựa trên các điều kiện đã cho. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng phương pháp giả sử và chứng minh theo quy nạp. Ta sẽ giả sử rằng biểu thức $\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}$ không phải là một số nguyên, sau đó chứng minh rằng giả thiết này dẫn đến mâu thuẫn, từ đó suy ra rằng biểu thức đã cho là một số nguyên. Bây giờ chúng ta sẽ giải bài toán theo từng bước: Bước 1: Giả sử rằng $\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}$ không phải là một số nguyên. Bước 2: Khi đó, tồn tại một số nguyên dương k sao cho $\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}=k+\delta$ với $0< \delta< 1$. Bước 3: Bình phương cả hai vế của phương trình ở bước 2, ta có: $(a+2b)+(a-2b)+2\sqrt{(a+2b)(a-2b)}=(k+\delta)^2$ $2a+2\sqrt{a^2-4b^2}=k^2+2k\delta+\delta^2$ Bước 4: Do $\sqrt{a^2-4b^2}$ là một số nguyên (vì $a, b$ là số nguyên dương), nên ta có: $2a+2m=k^2+2k\delta+\delta^2$ với $m=\sqrt{a^2-4b^2}$. Bước 5: Ta có phương trình: $\frac{m^2+n^2}{a}=\frac{mn}{b}$ $m^2+n^2=amn/b$ Bước 6: Từ phương trình ở bước 4 và phương trình ở bước 5, ta có: $2a+2m=amn/b$ $2/a+2/m=mn/b$ Bước 7: Do (a, b)=1, nên a không chia hết cho b. Vì vậy, ta có: $2/a+2/m \in Z$ Bước 8: Nhưng từ giả thiết ở bước 1, ta đã giả sử rằng $\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}$ không phải là một số nguyên. Điều này đồng nghĩa với việc $2/a+2/m$ không phải là một số nguyên. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với bước 7. Vì vậy, giả thiết ban đầu là sai và ta kết luận rằng $\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}$ là một số nguyên.