giúp mình với Câu 5. (0,5 điểm),Một người thợ cơ khí cần cắt vừa đủ một cây sắt dài 100 dm thành các đoạn để hàn lại thành,khung một hình lập phương và một hình hộp chữ nhật. Biết hình, ,hộp chữ nhật có chiều dài gấp 6 lần chiều rộng và chiều cao bằng,chiều rộng (hình vẽ minh họa). Tìm độ dài của các đoạn sắt sao cho,tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất?

Question

giúp mình với Câu 5. (0,5 điểm),Một người thợ cơ khí cần cắt vừa đủ một cây sắt dài 100 dm thành các đoạn để hàn lại thành,khung một hình lập phương và một hình hộp chữ nhật. Biết hình,

,hộp chữ nhật có chiều dài gấp 6 lần chiều rộng và chiều cao bằng,chiều rộng (hình vẽ minh họa). Tìm độ dài của các đoạn sắt sao cho,tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất?

Accepted Answer

Gọi cạnh hình lập phương bằng x(dm) (Đk : x>0)

⟹ Hình hộp chữ nhật có : Chiều cao = chiều rộng = y(dm) (Đk : y>0)

⟹ Chiều dài hình hộp chữ nhật bằng 6y (dm)

Hình lập phương có 12 cạnh có độ dài bằng x(dm)

Hình hộp chữ nhật có 8 cạnh có độ dài y (dm) và 4 cạnh có độ dài 6y (dm)

Người thợ cắt vừa đủ một cây sắt dài 100m nên ta có :

$\displaystyle 12x+8y+24y\ =\ 100\ \Longrightarrow \ x\ =\ \frac{25-8y}{3}$

Thể tích khối lập phương là $\displaystyle V_{1} \ =\ x^{3}$

Thể tích khối hộp chữ nhật là : $\displaystyle V_{2} \ =\ y.y.6y\ =\ 6y^{3}$

Tổng thể tích hai hình là : $\displaystyle V\ =\ V_{1} +V_{2} \ =\ x^{3} \ +\ 6y^{3}$

Ta có : $\displaystyle x^{3} +3^{3} +3^{3} \ \geqslant \ 3.\sqrt[3]{x^{3} .3^{3} .3^{3}} \ =\ 27x$

$\displaystyle 6.\left( y^{3} +2^{3} +2^{3} ight) \ \geqslant 6.3.\sqrt[3]{y^{3} .2^{3} .2^{3}} \ =\ 72y$

Cộng vế theo vế hai bất phương trình ta được :

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x^{3} +6y^{3} \ +150\ \geqslant \ 9.( 3x+8y) \ \
\Leftrightarrow V\ +150\ \geqslant 225\
\Longrightarrow \ V\ \geqslant \ 75
\end{array}$

Dấu "=" xảy ra ⟹ x = 3 ; y=2

Vậy tổng thể tích hai hình thu nhỏ nhất bằng $\displaystyle 75dm^{3}$ khi độ dài cạnh hình lập phương bằng 3dm ,độ dài chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật bằng 2dm ; chiều dài của hình hộp chữ nhật là 12dm