làm nhanh giú mình

1. Để tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển của biểu thức $(x+\frac2{x^2})^6$, ta sử dụng công thức tổng quát của khai triển Newton: $(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n$ Ứng dụng công thức này vào biểu thức đã cho, ta có: $(x+\frac2{x^2})^6 = \binom{6}{0}x^6 (\frac2{x^2})^0 + \binom{6}{1}x^5 (\frac2{x^2})^1 + \binom{6}{2}x^4 (\frac2{x^2})^2 + \binom{6}{3}x^3 (\frac2{x^2})^3 + \binom{6}{4}x^2 (\frac2{x^2})^4 + \binom{6}{5}x^1 (\frac2{x^2})^5 + \binom{6}{6}x^0 (\frac2{x^2})^6$ Simplifying this expression, we get: $x^6 + 12x^3 + 60 + \frac{80}{x^3} + \frac{40}{x^6}$ Vậy hệ số của $x^3$ trong khai triển là 12. 2. Biết hệ số của $x^2$ trong khai triển của $(1-3x)^n$ là 90. Ta sử dụng công thức tổng quát của khai triển Newton: $(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n$ Ứng dụng công thức này vào biểu thức đã cho, ta có: $(1-3x)^n = \binom{n}{0}1^n (-3x)^0 + \binom{n}{1}1^{n-1}(-3x)^1 + \binom{n}{2}1^{n-2}(-3x)^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}1^1 (-3x)^{n-1} + \binom{n}{n}1^0 (-3x)^n$ Simplifying this expression, we get: $1 - 3nx + \frac{9n(n-1)}{2}x^2 + \ldots$ Hệ số của $x^2$ là $\frac{9n(n-1)}{2}$. Vì vậy, ta có phương trình: $\frac{9n(n-1)}{2} = 90$ Giải phương trình này, ta có: $9n(n-1) = 180$ $n(n-1) = 20$ Vì $n$ là một số nguyên, ta thử các giá trị của $n$ để tìm nghiệm. Ta thấy $n=5$ là một nghiệm thỏa mãn. Vậy $n=5$. 3. Để tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển của $(x^3+\frac1x)^8$, ta sử dụng công thức tổng quát của khai triển Newton: $(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n$ Ứng dụng công thức này vào biểu thức đã cho, ta có: $(x^3+\frac1x)^8 = \binom{8}{0}(x^3)^8 (\frac1x)^0 + \binom{8}{1}(x^3)^7 (\frac1x)^1 + \binom{8}{2}(x^3)^6 (\frac1x)^2 + \ldots + \binom{8}{7}(x^3)^1 (\frac1x)^7 + \binom{8}{8}(x^3)^0 (\frac1x)^8$ Simplifying this expression, we get: $x^{24} + 8x^{18} + 28x^{12} + 56x^6 + 70 + \frac{56}{x^6} + \frac{28}{x^{12}} + \frac{8}{x^{18}} + \frac{1}{x^{24}}$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là 70. 4. Để tính tổng các hệ số của đa thức nhận được từ khai triển biểu thức $(3x-4)^{17}$, ta sử dụng công thức tổng quát của khai triển Newton: $(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n$ Ứng dụng công thức này vào biểu thức đã cho, ta có: $(3x-4)^{17} = \binom{17}{0}(3x)^{17} (-4)^0 + \binom{17}{1}(3x)^{16} (-4)^1 + \binom{17}{2}(3x)^{15} (-4)^2 + \ldots + \binom{17}{16}(3x)^1 (-4)^{16} + \binom{17}{17}(3x)^0 (-4)^{17}$ Simplifying this expression, we get: $3^{17}x^{17} - 4 \cdot 3^{16}x^{16} + 6 \cdot 4^2 \cdot 3^{15}x^{15} - \ldots + (-1)^{16} \binom{17}{16}4^{16} \cdot 3x + (-1)^{17} \binom{17}{17}4^{17}$ Tổng các hệ số của đa thức này là: $3^{17} - 4 \cdot 3^{16} + 6 \cdot 4^2 \cdot 3^{15} - \ldots + (-1)^{16} \binom{17}{16}4^{16} \cdot 3 + (-1)^{17} \binom{17}{17}4^{17}$ 5. a) Để chứng minh rằng $11^{10}-1$ chia hết cho 100, ta sử dụng định lý Euler: Nếu $a$ và $n$ là hai số nguyên tố cùng nhau, thì $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$, trong đó $\phi(n)$ là hàm Euler. Vì $11$ và $100$ là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có $11^{40} \equiv 1 \pmod{100}$. Do đó, $11^{10} \equiv 1 \pmod{100}$. Vậy $11^{10}-1$ chia hết cho 100. b) Để chứng minh rằng $101^{100}-1$ chia hết cho 10,000, ta sử dụng định lý Euler: Nếu $a$ và $n$ là hai số nguyên tố cùng nhau, thì $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$, trong đó $\phi(n)$ là hàm Euler. Vì $101$ và $10,000$ là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có $101^{400} \equiv 1 \pmod{10,000}$. Do đó, $101^{100} \equiv 1 \pmod{10,000}$. Vậy $101^{100}-1$ chia hết cho 10,000. c) Để chứng minh rằng $\sqrt{10}[(1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}]$ là một số nguyên, ta sử dụng công thức khai triển binomial: $(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n$ Ứng dụng công thức này vào biểu thức đã cho, ta có: $(1+\sqrt{10})^{100} = \binom{100}{0}1^{100} (\sqrt{10})^0 + \binom{100}{1}1^{99} (\sqrt{10})^1 + \binom{100}{2}1^{98} (\sqrt{10})^2 + \ldots + \binom{100}{99}1^1 (\sqrt{10})^{99} + \binom{100}{100}1^0 (\sqrt{10})^{100}$ $(1-\sqrt{10})^{100} = \binom{100}{0}1^{100} (-\sqrt{10})^0 + \binom{100}{1}1^{99} (-\sqrt{10})^1 + \binom{100}{2}1^{98} (-\sqrt{10})^2 + \ldots + \binom{100}{99}1^1 (-\sqrt{10})^{99} + \binom{100}{100}1^0 (-\sqrt{10})^{100}$ Khi ta trừ hai biểu thức này với nhau, các số hạng chứa $\sqrt{10}$ sẽ bị loại bỏ và chỉ còn lại các số hạng không chứa $\sqrt{10}$. Vậy $\sqrt{10}[(1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}]$ là một số nguyên.