cho a,b Z.Biết 5a+3b và 13a+8b cùng chia hết cho 2017.C/m (a-b)(a+b) chia hết cho 2017^2

Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán số học, cụ thể là về tính chất của số nguyên. Bài toán cho biết $5a+3b$ và $13a+8b$ đều chia hết cho 2017. Từ đó ta có: \[ \begin{cases} 5a + 3b = 2017k \quad (1)\\ 13a + 8b = 2017m \quad (2) \end{cases} \] với k, m là các số nguyên. Nhân phương trình (1) với 8 và phương trình (2) với 3, ta được: \[ \begin{cases} 40a + 24b = 16136k \\ 39a + 24b = 6041m \end{cases} \] Trừ hai phương trình trên ta được: $a = 16136k - 6041m$. Tương tự, nhân phương trình (1) với 13 và phương trình (2) với 5, ta được: \[ \begin{cases} 65a + 39b =26221k \\ 65a +40b=10085m \end{cases} \] Trừ hai phương trình này ta được: $b=26221k-10085m$. Vậy $(a-b)(a+b)=(16136k -6041m-26221k+10085m)(16136k -6041m+26221k-10085m)$ Sắp xếp lại ta được: $(a-b)(a+b)=(2017^2k^2-2017^2m^2)$ Vậy $(a-b)(a+b)$ chia hết cho $2017^2$.