Cho hình bình hành ABCD qua D kẻ đường thẳng cắt AC, AB, BC lần lượt tại M,N,K. Chứng minh: a, DM2=MN.MK b, 1/DN+1/DK=1/DM c, CK.AN không phụ thuộc vị trí của đường thẳng D

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng định lí Thales và các tính chất của hình học học bình hành. a) Chứng minh DM^2 = MN * MK: Vì ABCD là hình bình hành nên DM song song với BC. Do đó, theo định lí Thales, ta có: $$ $$ Nhân hai phương trình trên ta được: $$ $$ b) Chứng minh: $$ Từ phần a), ta biết rằng $$. Như vậy: $$ $$ Do $$ và $$ cùng bằng $$ (vì ABCD là hình bình hành), nên ta có: $$ $$ Áp dụng lại định lí Thales cho tam giác DCM, ta có: $$ $$ Thay vào biểu thức trước, ta được: $$ $$ $$ $$ Do đó, $$ $$ c) Ta đã chứng minh rằng CK/AN không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng D trong phần a). Điều này xảy ra vì tỷ lệ giữa các cạnh của một tam giác không thay đổi khi tam giác di chuyển hay xoay.