Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: a) tam giác ABC đồng dạng với tam giác AEF b) HD/ AD + HE/ BE + HF/ CF =1

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: Để chứng minh rằng các đường cao AH, BH, CH không cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC, ta sử dụng phương pháp giả sử ngược. Giả sử rằng các đường cao AH, BH, CH cắt nhau tại một điểm K. Khi đó ta có thể xây dựng được một tam giác AKH, BKH và CKH. Do đó, ta có: - Đường cao từ A của tam giác AKH là KH. - Đường cao từ B của tam giác BKH là KH. - Đường cao từ C của tam giác CKH là KH. Vậy theo điều kiện tồn tại duy nhất một đường cao qua mỗi đỉnh trong một tam giác, ta suy ra các đường cao AH, BH, CH không thể cắt nhau tại một điểm K nào khác ngoài trực tâm H. Vì vậy, kết luận là các đường cao AH, BH, CH không cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC. a) tam giác ABC đồng dạng với tam giác AEF Để giải bài toán này, ta sử dụng định lí về tam giác đồng dạng. Theo đó, nếu hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau thì chúng đồng dạng. Với tam giác ABC và tam giác AEF đồng dạng, ta có: $$ Do đó, ta có: $$ Từ phương trình trên, suy ra: $$ Vậy ta có thể kết luận rằng các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là như sau: $$ b) HD/ AD + HE/ BE + HF/ CF =1 Để giải bài toán này, ta sử dụng định lí Menelaus trong tam giác. Định lí Menelaus nói rằng trong một tam giác ABC có điểm D trên BC, điểm E trên CA và điểm F trên AB, thì ta có: $$ Áp dụng định lí này vào bài toán của chúng ta, ta được: $$ Thay các giá trị đã cho vào phương trình trên, ta có: $$ Giải phương trình trên để tìm ra các giá trị của HD, HE và HF. Kết quả cuối cùng là: $$