Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đg cao Ah. Đg phân giác của góc ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E
a) Biết AB=9cm, BC = 15cm. Tính AC?
b) CM: ∆ABC đồng dạng ∆HCA
c) Gọi I là trung điểm của ED. Cm: ID/AD = EH/EB D: Vậy so sach lúc đau ở thư viện 1 là 10500 cuôn.,Số sách lúc đầu ở thư viện II là: $15000-10500=4500$ cuốn.,Bài 10,Cho $\Delta ABC$ vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Đường phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt AC tại D và cắt AH tại E.,a) Biết $AB=9~cm,~BC=15~cm.$ Tính AC?,b) Chứng minh: $\Delta ABC\backsim\Delta HCA$,c) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh $\frac{ID}{AD}=\frac{EH}{EB}$

Question

Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đg cao Ah. Đg phân giác của góc ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E
a) Biết AB=9cm, BC = 15cm. Tính AC?
b) CM: ∆ABC đồng dạng ∆HCA
c) Gọi I là trung điểm của ED. Cm: ID/AD = EH/EB D>: Vậy so sach lúc đau ở thư viện 1 là 10500 cuôn.,Số sách lúc đầu ở thư viện II là: $15000-10500=4500$ cuốn.,Bài 10,Cho $\Delta ABC$ vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Đường phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt AC tại D và cắt AH tại E.,a) Biết $AB=9~cm,~BC=15~cm.$ Tính AC?,b) Chứng minh: $\Delta ABC\backsim\Delta HCA$,c) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh $\frac{ID}{AD}=\frac{EH}{EB}$

Accepted Answer

a) Áp dụng ĐL Pytago cho tam giác ABC vuông tại A có:
$\displaystyle AC=\sqrt{BC^{2} -AB^{2}} =\sqrt{15^{2} -9^{2}} =12$
b) Xét $\displaystyle \Delta ABC\ \&\ \Delta HCA$ có:
Chung $\displaystyle \angle C$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\angle AHC=\angle BAC=90^{o}\
\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta HCA( g.g)
\end{array}$
c) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC:
$\displaystyle \frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{AC^{2}} \Rightarrow AH=\sqrt{\frac{AB^{2} .AC^{2}}{AB^{2} +AC^{2}}} =\sqrt{\frac{9^{2} .12^{2}}{9^{2} +12^{2}}} =7,2$
Áp dụng ĐL Pytago cho tam giác BAH vuông tại H:
$\displaystyle BH=\sqrt{AB^{2} -AH^{2}} =\sqrt{9^{2} -7,2^{2}} =5,4$
Do $\displaystyle BE$ là phân giác $\displaystyle \angle ABH$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{AE}{EH} =\frac{AB}{BH} \Rightarrow \frac{AE}{AE+EH} =\frac{AB}{BH+AB} \Rightarrow AE=\frac{9}{5,4+9} .7,2=4,5$
Do $\displaystyle BE$ là phân giác $\displaystyle \angle ABC$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{AD}{DC} =\frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{AD}{AD+DC} =\frac{AB}{AB+BC} \Rightarrow AD=\frac{9}{9+15} .12=4,5$
$\displaystyle \Rightarrow AE=AD=4,5\Rightarrow \Delta AEC$ cân tại A
mà $\displaystyle AI$ là trung tuyến
$\displaystyle \Rightarrow AI\perp ED$
Xét $\displaystyle \Delta AIE\ \&\ \Delta BHE$ có:
$\displaystyle \angle AEI=\angle BEH$ (đối đỉnh)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\angle AIE=\angle BHE=90^{o}\
\Rightarrow \Delta AIE\sim \Delta BHE( g.g)\
\Rightarrow \frac{IE}{AE} =\frac{HE}{EB}
\end{array}$
mà $\displaystyle AE=AD,\ IE=ID$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{ID}{AD} =\frac{HE}{EB}$

Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đg cao Ah. Đg phân giác của góc ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E a) Biết AB=9cm, BC = 15cm. Tính AC? b) CM: ∆ABC đồng dạng ∆HCA c) Gọi I là trung điểm của ED. Cm: ID/AD = EH/EB...