Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn), Vẽ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC)
Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn), Vẽ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC).
1) Chứng minh: ΔABD = ΔACD.
2) Gọi H là trung điểm của cạnh DC. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh DC cắt cạnh AC tại E. Chứng minh tam giác DEC cân.
3) Nối BE cắt AD tại G. Chứng minh: G là trọng tâm tam giác ABC

Question

Accepted Answer

1) Vì $\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại A nên AB=AC
Vì AD là phân giác của $\displaystyle \vartriangle ABC$ nên $\displaystyle \widehat{BAD} =\widehat{CAD}$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABD$ và $\displaystyle \vartriangle ACD$ có:
AB=AC
$\displaystyle \widehat{BAD} =\widehat{CAD}$
AD: cạnh chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle ABD=\vartriangle ACD$ (c.g.c)

2) Vì H là trung điểm của DC nên $\displaystyle DH=HC$
Xét $\displaystyle \vartriangle DHE$ vuông tại H và $\displaystyle \vartriangle CHE$ vuông tại H có:
DH=HC
HE: cạnh chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle DHE=\vartriangle CHE$ (2 cạnh góc vuông)
$\displaystyle \Longrightarrow DE=EC$ (2 cạnh tương ứng)
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle CDE$ cân tại E

3) Ta có: $\displaystyle \vartriangle CDE$ cân tại E
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{EDC} =\widehat{ECD}$ (tính chất tam giác cân)
Ta có: $\displaystyle \begin{cases}
\widehat{EAD} +\widehat{ECD} =90^{0} & \
\widehat{EDC} +\widehat{EDA} =90^{0} &
\end{cases}$
Do đó $\displaystyle \widehat{EAD} =\widehat{EDA}$
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle EAD$ cân tại E
$\displaystyle \Longrightarrow EA=ED$
Mặt khác $\displaystyle DE=EC$
Do đó $\displaystyle EA=EC$
$\displaystyle \Longrightarrow E$ là trung điểm của AC
Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có: BE, AD là các đường trung tuyến của $\displaystyle \vartriangle ABC$
Lại có: BE và AD cắt nhau tại G
Do đó G là trọng tâm của $\displaystyle \vartriangle ABC$

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn), Vẽ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC) Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn), Vẽ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC). 1) Chứng minh: ΔABD = ΔACD. 2) G...