tính khoảng cách từ M đến (SBC) âu 63: Cho hình chóp S.ABC có 4 $C.~\frac12.$ $D.~\frac{3a}4.$,Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) bằng $SA\bot(ABC),~SA=a.$ Tam giác ABC vuông cân tại A ,,$A,~BC=a\sqrt2.$,$A.~\frac{a\sqrt3}3.$ $B.~\frac{a\sqrt3}6.$ $C.~\frac{a\sqrt3}4.$,$D.~a\sqrt3.$

Question

tính khoảng cách từ M đến (SBC) âu 63:   Cho hình chóp S.ABC có 4 $C.~\frac12.$ $D.~\frac{3a}4.$,Gọi M  là trung điểm của  AB. Khoảng cách từ  M đến mặt phẳng (SBC) bằng $SA\bot(ABC),~SA=a.$ Tam giác ABC vuông cân tại  A ,,$A,~BC=a\sqrt2.$,$A.~\frac{a\sqrt3}3.$ $B.~\frac{a\sqrt3}6.$ $C.~\frac{a\sqrt3}4.$,$D.~a\sqrt3.$

Accepted Answer

Gọi K là trung điểm của BC. Kẻ $\displaystyle AH\bot SK\ ( H\in SK)$
$\displaystyle \Longrightarrow AK=\frac{BC}{2} =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông cân tại A nên $\displaystyle AK\bot BC$
Vì $\displaystyle SA\bot ( ABC)$ nên $\displaystyle BC\bot SA$
Do đó $\displaystyle BC\bot ( SAK)$
$\displaystyle \Longrightarrow BC\bot AH$
Lại có: $\displaystyle AH\bot SK$
Do đó $\displaystyle AH\bot ( SBC)$
Vì M là trung điểm của AB nên $\displaystyle d_{M,( SBC)} =\frac{1}{2} d_{A,( SBC)} =\frac{1}{2} AH$
$\displaystyle \vartriangle SAK$ vuông tại A có: $\displaystyle AH\bot SK$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{SA^{2}} +\frac{1}{AK^{2}} =\frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2} ight)^{2}} =\frac{3}{a^{2}}\
\Longrightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\
\Longrightarrow \ d_{M,( SBC)} =\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{3}}{3} =\frac{a\sqrt{3}}{6}
\end{array}$

Chọn B