Bài 1. Cho tứ diện ABCD, biết AB vuông góc với mặt phẳng (BCD), tam giác BCD vuông tại D, AB = BC = a, góc CBD bằng 30°. a) CMR: các mặt tứ diện đều là các tam giác vuông. b) CMR: mp (BCD) vuông góc v...

a) Để chứng minh rằng các mặt tứ diện đều là các tam giác vuông, ta sử dụng tính chất của hình học không gian. Vì tam giác BCD là tam giác vuông tại D và AB vuông góc với mặt phẳng (BCD), nên ta có thể suy ra rằng các mặt tứ diện ABCD là các tam giác vuông. b) Để chứng minh rằng mp (BCD) vuông góc với mp (ABD) và mp (ACD) vuông góc với mp (ABD), ta sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng. Gọi $$ là góc giữa mp (BCD) và mp (ABD), $$ là góc giữa mp (ACD) và mp (ABD). Ta có công thức: $$ Trong đó $$ và $$ lần lượt là vector pháp tuyến của mp (BCD) và mp (ABD). Tương tự, ta cũng có: $$ Với $$ và $$ lần lượt là vector pháp tuyến của mp (ACD) và mp (ABD). Từ đây, ta có thể tính được giá trị của cosin của hai góc này để kiểm tra xem chúng có bằng 0 hay không. c) Để tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Gọi $$ là khoảng cách cần tìm, $$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), và $$ là điểm D. Công thức tính khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng có dạng: $$ Trong đó $$ là vector từ điểm O thuộc mặt phẳng đến điểm P. Thay vào công thức này, ta có thể tính được khoảng cách từ D đến mặt phẳn(ABC). Tuy nhiên, sau khi áp dụn các công thức trên, kết quả cho thấy các tam giác không phải là tam giác đều, hai mặt không vuông góc nhau và khoảg cach từ D đến mặt phăng ABC bàng 0.