Trong hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(6;3),B(3;2) và tiếp xúc với đường thẳng A:x+2y-2=0.

Question

Accepted Answer

A(6;3),B(3;2) ⟹ $\displaystyle \overrightarrow{BA} \ =\ ( 3;\ 1)$
Phương trình đường thẳng AB đi qua B(3; 2) và nhận $\displaystyle \overrightarrow{BA} \ =\ ( 3;\ 1)$ làm VTCP là:
$\displaystyle \frac{x\ -\ 3}{3} \ =\ \frac{y\ -\ 2}{1} \ \Leftrightarrow \ x\ -\ 3\ =\ 3y\ -\ 6\ \Leftrightarrow \ x\ -\ 3y\ +\ 3\ =\ 0$
A(6;3),B(3;2) ⟹ Toạ độ điểm M là trung điểm AB là: $\displaystyle \begin{cases}
x_{M} \ =\ \frac{6\ +\ 3}{2} \ =\ \frac{9}{2}\
y_{M} \ =\ \frac{3\ +\ 2}{2} \ =\ \frac{5}{2}
\end{cases}$
⟹ $\displaystyle M\left(\frac{9}{2} ;\ \frac{5}{2} ight)$
Gọi I là tâm đường tròn đi qua A và B
⟹ $\displaystyle IA\ =\ IB$
⟹ $\displaystyle I\ \in $ trung trực của đoạn AB
Đường trung trực của đoạn AB đi qua $\displaystyle M\left(\frac{9}{2} ;\ \frac{5}{2} ight)$ và nhận $\displaystyle \overrightarrow{BA}( 3;\ 1)$ làm VTPT là:
$\displaystyle 3\left( x\ -\ \frac{9}{2} ight) \ +\ y\ -\ \frac{5}{2} \ =\ 0\ \Leftrightarrow \ 3x\ +\ y\ -\ 16\ =\ 0$
⟹ $\displaystyle I\ \in \ d:3x\ +\ y\ -\ 16\ =\ 0\ $
⟹ $\displaystyle I( a;\ 16\ -\ 3a)$
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $\displaystyle \vartriangle $:x+2y-2=0.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
R\ =\ IA\ =\ d( I,\ \vartriangle )\
\Leftrightarrow \ \sqrt{( a\ -\ 6)^{2} \ +\ ( 13\ -\ 3a)^{2}} \ =\ \frac{|a\ +\ 32\ -\ 6a\ -\ 2|}{\sqrt{1^{2} \ +\ 2^{2}}}\
\Leftrightarrow \ ( a\ -\ 6)^{2} \ +\ ( 13\ -\ 3a)^{2} \ =\ \frac{( 5a\ -\ 30)^{2}}{5}\
\Leftrightarrow \ 10a^{2} \ -\ 12a\ +\ 36\ -\ 78a\ +\ 169\ =\ 5( a\ -\ 6)^{2}\
\Leftrightarrow \ 10a^{2} \ -\ 90a\ +\ 205\ =\ 5a^{2} \ -\ 60a\ +\ 180\
\Leftrightarrow \ 5a^{2} \ -\ 30a\ +\ 25\ =\ 0\
\Leftrightarrow \ 5( a\ -\ 1)( a\ -\ 5) \ =\ 0\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
a\ =\ 1 & \
a\ =\ \frac{25}{3} &
\end{array} ight.
\end{array}$
$\displaystyle a\ =\ 1$ ⟹ $\displaystyle I( 1;\ 13) ;\ R\ =\ 5\sqrt{5}$ ⟹ $\displaystyle ( x\ -\ 1)^{2} \ +\ ( y\ -\ 13)^{2} \ =\ 75$
$\displaystyle a\ =\ 5$⟹ $\displaystyle I( 5;\ 1) ;\ R\ =\ \sqrt{5}$ ⟹ $\displaystyle ( x\ -\ 5)^{2} \ +\ ( y\ -\ 1)^{2} \ =\ 5$