Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Tìm hệ số của $x^3$ sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của,$(\frac1x-x+2x^2)^9,~x
e0.$

Question

Accepted Answer

Ta có $\displaystyle \left(\frac{1}{x} -x+2x^{2} ight)^{9} =\left(\frac{1-x^{2} +2x^{3}}{x} ight)^{9} =\frac{\left( 1-x^{2} +2x^{3} ight)^{9}}{x^{9}}$
Để tìm hệ số của $\displaystyle x^{3}$ ta tìm hệ số của $\displaystyle x^{12}$ trong khai triển $\displaystyle P=\left( 1-x^{2} +2x^{3} ight)^{9}$
Xét khai triển $\displaystyle P=\sum _{k=0}^{9} C_{9}^{k}\left( 2x^{3} -x^{2} ight)^{k} \Longrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
k=6 & \
k=5 & \
k=4 &
\end{array} ight.$thỏa mãn để tìm hệ số $\displaystyle x^{12}$
Với $\displaystyle k=6$⟹ hệ số $\displaystyle x^{12}$ là $\displaystyle C_{9}^{6} .( -1)^{6} =84$
Với $\displaystyle k=4$⟹ hệ số $\displaystyle x^{12}$là $\displaystyle C_{9}^{4} .2^{4} =2016$
Với $\displaystyle k=5\Longrightarrow P=C_{9}^{k}\left( 2x^{3} -x^{2} ight)^{k} =126x^{10}( 2x-1)^{5} =126x^{10}$
$\displaystyle \sum _{k'=0}^{5} C_{5}^{k'} .( 2x)^{k'} .( -1)^{5-k'}$
Suy ra $\displaystyle k'=2$
Hệ số cần tìm là $\displaystyle 126.C_{5}^{2} .2^{2} .( -1)^{5-2} =-5040$
Vậy hệ số cần tìm là $\displaystyle 84+2016-5040=-2940$