Giúp toi voi

Câu 11. Phương trình chính tắc của một elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số dương. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình đã cho: A. $x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$ - Đây là phương trình chính tắc của elip với $a^2 = 1$ và $b^2 = 9$. Do đó, $a = 1$ và $b = 3$. B. $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{2} = 1$ - Đây là phương trình chính tắc của một hyperbol, không phải elip. C. $\frac{x^2}{15} + \frac{y^2}{16} = 0$ - Phương trình này không thể đúng vì tổng của hai bình phương không thể bằng 0 trừ khi cả hai đều bằng 0, nhưng điều này không xảy ra trong trường hợp này. D. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 2$ - Đây không phải là phương trình chính tắc của elip vì vế phải không phải là 1. Do đó, phương trình chính tắc của elip là phương trình A: $x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$. Đáp án: A. $x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$. Câu 12. Phương trình elip (E) là $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$. Ta nhận thấy đây là dạng chuẩn của phương trình elip với trục lớn nằm trên trục Ox và trục nhỏ nằm trên trục Oy. - Bước 1: Xác định các thông số cơ bản của elip: - Trục lớn \( A_1A_2 \) có độ dài \( 2a \), trong đó \( a = 5 \) (vì \( a^2 = 25 \)). - Trục nhỏ \( B_1B_2 \) có độ dài \( 2b \), trong đó \( b = 4 \) (vì \( b^2 = 16 \)). - Bước 2: Kiểm tra các khẳng định: - Khẳng định A: \( A_1A_2 = 10 \) - Đúng vì \( 2a = 2 \times 5 = 10 \). - Khẳng định B: \( B_1B_2 = 8 \) - Đúng vì \( 2b = 2 \times 4 = 8 \). - Khẳng định C: \( F_1F_2 = 3 \) - Sai vì khoảng cách giữa hai tiêu điểm \( F_1 \) và \( F_2 \) là \( 2c \), trong đó \( c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \). Do đó, \( F_1F_2 = 2c = 2 \times 3 = 6 \). - Khẳng định D: \( A_1(0; -5) \) - Sai vì \( A_1 \) nằm trên trục lớn, tức là trên trục Ox, nên tọa độ của \( A_1 \) sẽ là \( (-5, 0) \), không phải \( (0, -5) \). Như vậy, khẳng định sai là: - Khẳng định C: \( F_1F_2 = 3 \) (sai, vì \( F_1F_2 = 6 \)). - Khẳng định D: \( A_1(0; -5) \) (sai, vì \( A_1(-5, 0) \)). Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, khẳng định sai duy nhất là: - Khẳng định C: \( F_1F_2 = 3 \). Đáp án: C. \( F_1F_2 = 3 \). Câu 1. a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình của đường thẳng $\Delta$, ta có: $-(-7)+3\times 1+1=7+3+1=11\neq 0$ Vậy điểm M không thuộc đường thẳng $\Delta$. b) Khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng $\Delta$ là: $d(N,\Delta)=\frac{|-(-4)+3\times 3+1|}{\sqrt{(-1)^2+3^2}}=\frac{|4+9+1|}{\sqrt{10}}=\frac{14}{\sqrt{10}}=\frac{11\sqrt{10}}{10}$ c) Bán kính của đường tròn tâm M và đi qua N là: $r= MN = \sqrt{(-4+7)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ Phương trình đường tròn tâm M và đi qua N là: $(C):~(x+7)^2+(y-1)^2=13$ d) Đường thẳng d song song với $\Delta$ và cách $\Delta$ một khoảng bằng $\sqrt{10}$ có phương trình là: $-x+3y+c=0$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là: $\frac{|c-1|}{\sqrt{(-1)^2+3^2}}=\sqrt{10}$ $\Rightarrow |c-1| = \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10$ $\Rightarrow c - 1 = 10$ hoặc $c - 1 = -10$ $\Rightarrow c = 11$ hoặc $c = -9$ Vậy phương trình của đường thẳng d là: $d:~-x+3y+11=0$ hoặc $d:~-x+3y-9=0$ Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề về mẫu số liệu 4; 5; 6; 7; 8; 4; 9; 4; 3, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a: Số trung bình: $\overline{x} = 5,5$ - Tính tổng của các số trong mẫu số liệu: \[ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 4 + 9 + 4 + 3 = 40 \] - Số lượng các số trong mẫu số liệu là 9. - Tính số trung bình: \[ \overline{x} = \frac{40}{9} \approx 4,44 \] Vậy mệnh đề a là sai vì $\overline{x} \neq 5,5$. Mệnh đề b: Mốt: $M_0 = 3$ - Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. - Trong mẫu số liệu này, số 4 xuất hiện 3 lần, nhiều hơn bất kỳ số nào khác. Vậy mốt là $M_0 = 4$, không phải là 3. Vậy mệnh đề b là sai. Mệnh đề c: Trung vị là $M_e = 4$ - Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 3; 4; 4; 4; 5; 6; 7; 8; 9 - Số lượng các số là 9 (lẻ), nên trung vị là số ở vị trí thứ $\left(\frac{9+1}{2}\right) = 5$. - Số ở vị trí thứ 5 là 5. Vậy trung vị là $M_e = 5$, không phải là 4. Vậy mệnh đề c là sai. Mệnh đề d: Tứ phân vị thứ ba là $Q_3 = 7$ - Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là giá trị nằm ở vị trí $\left(\frac{3(n+1)}{4}\right)$ trong mẫu số liệu đã sắp xếp. - Với n = 9, ta có: \[ Q_3 = \text{giá trị ở vị trí} \left(\frac{3(9+1)}{4}\right) = \left(\frac{30}{4}\right) = 7,5 \] - Vị trí 7,5 nằm giữa số thứ 7 và số thứ 8 trong mẫu số liệu đã sắp xếp. - Số thứ 7 là 7 và số thứ 8 là 8. - Tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của 7 và 8: \[ Q_3 = \frac{7 + 8}{2} = 7,5 \] Vậy tứ phân vị thứ ba là $Q_3 = 7,5$, không phải là 7. Vậy mệnh đề d là sai. Kết luận: - Mệnh đề a: Sai - Mệnh đề b: Sai - Mệnh đề c: Sai - Mệnh đề d: Sai Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp. Bước 1: Xác định số điểm và số đỉnh của tam giác. - Chúng ta có 10 điểm. - Mỗi tam giác có 3 đỉnh. Bước 2: Áp dụng công thức tổ hợp để tính số cách chọn 3 điểm từ 10 điểm. - Công thức tổ hợp: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - Ở đây, \( n = 10 \) và \( k = 3 \). Bước 3: Thay số vào công thức. \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \] Bước 4: Tính giai thừa. \[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! \] \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] \[ 7! = 7! \] Bước 5: Rút gọn biểu thức. \[ C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120 \] Vậy, số tam giác có thể tạo thành từ 10 điểm là 120. Đáp số: 120 tam giác.