Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với góc BAC = 60 độ và AB < AC. Các đường thẳng BO, CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC, AB tại M, N. Gọi F là điểm chínhgiữa của cung lớn BC. a) Chứng minh...

a) Chứng minh năm điểm A, N, O, M và F cùng thuộc một đường tròn. Ta có góc BAC = 60 độ, nên góc BOC = 120 độ (vì góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC). Góc MON = 120 độ (vì góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MN). Góc OFN = 120 độ (vì góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung NF). Suy ra góc MON + góc OFN = 120 độ + 120 độ = 240 độ. Mà góc MON + góc OFN + góc ANO = 360 độ (tổng ba góc trong tứ giác ANOM). Suy ra góc ANO = 360 độ - 240 độ = 120 độ. Góc ANO = góc AFO (vì cùng chắn cung AN). Suy ra góc AFO = 120 độ. Vậy năm điểm A, N, O, M và F cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN, FM với đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ. Chứng minh tia AJ là tia phân giác của góc BAC. Ta có góc FNP = góc FMP (vì cùng chắn cung PF). Suy ra góc FNP + góc FMP = 2 * góc FNP = 2 * góc FMP. Mà góc FNP + góc FMP = góc BAC = 60 độ. Suy ra góc FNP = góc FMP = 30 độ. Góc FNP = góc JAB (vì cùng chắn cung BP). Góc FMP = góc JAC (vì cùng chắn cung CP). Suy ra góc JAB = góc JAC. Vậy tia AJ là tia phân giác của góc BAC. c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF. Chứng minh AB vuông góc với AK. Ta có góc FNP = góc FMP = 30 độ. Góc FNP + góc FMP = góc BAC = 60 độ. Suy ra góc FNO = góc FMO = 30 độ (vì cùng chắn cung FO). Góc FNO + góc FMO = góc MON = 60 độ. Suy ra góc MON = 2 * góc FNO = 2 * 30 độ = 60 độ. Góc MON = góc AKB (vì cùng chắn cung AK). Suy ra góc AKB = 60 độ. Mà góc AKB + góc ABK = 180 độ (vì tổng ba góc trong tam giác ABK). Suy ra góc ABK = 180 độ - 60 độ = 120 độ. Góc ABK = góc AKC (vì cùng chắn cung AC). Suy ra góc AKC = 120 độ. Góc AKC + góc AKB = 120 độ + 60 độ = 180 độ. Suy ra AB vuông góc với AK (vì tổng hai góc kề bù bằng 180 độ). Vậy câu a, b, c đã được chứng minh.