Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC. 1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng mi...

1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp. Xét tứ giác BHEK, ta có: $$ (vì BE là đường cao của tam giác ABC) Tứ giác có hai góc đối diện bằng $$ nên là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: BH.BA = BK.BC. Xét tam giác vuông BHA và tam giác vuông BKC, ta có: $$ $$ (cùng phụ với góc ABC) Do đó, theo định lý góc-góc, tam giác BHA đồng dạng với tam giác BKC. Từ đồng dạng này, ta có: $$ Hay $$. 3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng. Ta có: $$ (theo giả thiết) $$ (cùng phụ với góc ABC) Do đó, tam giác BEH đồng dạng với tam giác KFB (g-g) Từ đồng dạng này, ta có: $$ Hay $$. Mặt khác, ta có: $$ (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông) Và $$ (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông) Do đó, $$. Vì I là trung điểm của EF nên $$. Suy ra, $$. Theo định lý về đường phân giác trong tam giác, ta có: $$ Hay $$. Từ đây, ta có: $$. Mặt khác, $$ (đối đỉnh) Do đó, $$. Suy ra, ba điểm H, I, K thẳng hàng. Vậy, ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng. 2) BH.BA = BK.BC. 3) Ba điểm H, I, K thẳng hàng.