Thực hiện câu trắc nghiệm sau: Câu 47: (0,2 điểm) Cho số phức $z=\frac{3+m(1-2i)}{m-2(i+1)}~(m\in\mathbb R).$ Để bất phương trình $|z-i|

Question

Thực hiện câu trắc nghiệm sau: Câu 47: (0,2 điểm) Cho số phức $z=\frac{3+m(1-2i)}{m-2(i+1)}~(m\in\mathbb R).$ Để bất phương trình $|z-i|<1$ thì giá,trị của tham số m dao động trong khoảng giá trị nào,$A.~(-1;\frac12).$ $B.~(-\frac13;\frac32).$ $C.~(-\frac23;\frac12).$ $D.~(-\frac13;1).$

Accepted Answer

Câu 47:
Ta có:
$$z=\frac{3+m(1-2i)}{m-2(i+1)}=\frac{3+m-2mi}{m-2i-2}=\frac{(3+m)+(2-m)i}{m-2i-2}.$$
Sử dụng công thức nhân liên hợp, ta có:
$$z=\frac{(3+m)+(2-m)i}{m-2i-2}\cdot\frac{m+2i+2}{m+2i+2}=\frac{(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i}{(m-2i-2)(m+2i+2)}=\frac{(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i}{m^2+4+4i^2}=\frac{(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i}{m^2+4}=\frac{(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i}{m^2+4}.$$
Suy ra:
$$z-i=\frac{(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i-i(m^2+4)}{m^2+4}=\frac{(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i-im^2-4i}{m^2+4}.$$
Tính môđun của $z-i$:
$$|z-i|=\left|\frac{(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i-im^2-4i}{m^2+4}\right|=\frac{|(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i-im^2-4i|}{m^2+4}.$$
Để $|z-i|<1$, ta cần có:
$$\frac{|(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i-im^2-4i|}{m^2+4}<1.$$
Hay:
$$|(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i-im^2-4i|<m^2+4.$$
Tính môđun vế trái:
$$|(3+m)(m+2i+2)+(2-m)(m-2i-2)i-im^2-4i|=|(3m+m^2+6+2mi+2m^2i+4i^2)+(2m-m^2-4-2mi+2m^2i+4i^2)i-im^2-4i|=|3m+m^2+6+2mi+2m^2i-4+(2m-m^2-4)i-im^2-4i=|m^2+3m+2+i(3m^2-2m)|.$$
Tính môđun vế phải:
$$m^2+4.$$
Suy ra:
$$|m^2+3m+2+i(3m^2-2m)|<m^2+4.$$
Bình phương hai vế, ta được:
$$(m^2+3m+2)^2+(3m^2-2m)^2<(m^2+4)^2.$$
$$(m^4+6m^3+13m^2+12m+4)+(9m^4-12m^3+4m^2)<m^4+8m^2+16.$$
$$10m^4-8m^3+9m^2-12m<12.$$
$$10m^4-8m^3+9m^2-12m-12<0.$$
Xét hàm số:
$$f(m)=10m^4-8m^3+9m^2-12m-12.$$
Tính đạo hàm:
$$f'(m)=40m^3-24m^2+18m-12.$$
Tìm nghiệm của đạo hàm:
$$40m^3-24m^2+18m-12=0.$$
$$10m^3-6m^2+4,5m-3=0.$$
$$(m-1)(10m^2+4m-3)=0.$$
$$m=1$$ hoặc $$10m^2+4m-3=0.$$
Giải phương trình bậc hai:
$$10m^2+4m-3=0.$$
$$\Delta=4^2-4.10.(-3)=16+120=136.$$
$$\sqrt{\Delta}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}.$$
$$m_{1,2}=\frac{-4\pm2\sqrt{34}}{20}=\frac{-1\pm\frac{\sqrt{34}}{5}}{5}.$$
So sánh với khoảng giá trị của m, ta thấy chỉ có:
$$m\in\left(-\frac13;\frac32\right).$$
Vậy đáp án là B.