Câu 36.
Ta có:
Theo giả thiết, ta có:
Thay vào, ta được:
Tính tích phân , ta có:
Thay vào, ta được:
Vậy .
Câu 37.
Để tìm nguyên hàm của hàm số , ta cần tính tích phân .
Sử dụng tính chất của tích phân, ta có thể tách tích phân này thành tổng của ba tích phân:
Bây giờ, ta cần tính các tích phân này:
1. .
2. .
3. .
Cộng các kết quả lại, ta được:
với .
Vậy, nguyên hàm của hàm số là .
Đáp án: A.
Câu 38.
Để tính môđun của số phức , trước tiên ta cần tính .
Ta có:
Sau đó, ta tính môđun của số phức , được định nghĩa là căn bậc hai của tổng bình phương của phần thực và phần ảo:
Vậy, môđun của số phức là .
Đáp án: B.
Câu 39.
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi đạo hàm trên .
Ta có: .
.
Vì nên .
Do đó, .
Vậy giá trị lớn nhất của là .
Vậy .
Đáp án: B.
Câu 40.
Đặt thì . Tương tự, .
Do đó, .
Theo giả thiết, , hay .
So sánh hai kết quả, ta có: .
Đặt , ta có: .
Hay . Bình phương hai vế, ta được:
.
Đây là phương trình bậc bốn, nhưng ta có thể dự đoán nghiệm . Thật vậy, nếu thì và thế vào phương trình trên thấy thoả mãn.
Vậy .
Khi đó, .
Vậy chọn đáp án .
Câu 41.
Ta có:
Xét dấu biểu thức :
Do đó:
Theo đề bài, nên:
Xét hàm số , ta thấy hàm số này đồng biến trên .
Mặt khác, .
Do đó, .
Đáp án: A.
Câu 42.
Đặt và với là các số thực.
Từ giả thiết, ta có:
Và:
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
Mặt khác, ta có:
Thay vào trên, ta được:
Lại có:
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
Thay vào trên, ta được:
Vậy giá trị lớn nhất của là .
Đáp án: A.
Câu 43.
Thể tích hình trụ là . Cho trước thể tích V, ta có thể tìm được mối quan hệ giữa R và h thông qua phương trình này: .
Diện tích toàn phần của hình trụ là . Thay vào, ta được .
Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta có thể lấy đạo hàm của A theo R và cho nó bằng 0.
.
Thay vào , ta được .
Vậy, khi và , diện tích toàn phần A đạt giá trị nhỏ nhất.
So sánh với các đáp án, ta thấy là đáp án đúng.
Đáp án: A