giải bài tập

Câu 36. Ta có: $l=\int^2_{-1}[x+2f(x)+3g(x)]dx$ $=\left(\int^2_{-1}xdx\right)+2\left(\int^2_{-1}f(x)dx\right)+3\left(\int^2_{-1}g(x)dx\right)$ Theo giả thiết, ta có: $\int^2_{-1}f(x)dx=2$ $\int^2_{-1}g(x)dx=-1$ Thay vào, ta được: $l=\left(\int^2_{-1}xdx\right)+2(2)+3(-1)$ Tính tích phân $\int^2_{-1}xdx$, ta có: $\int^2_{-1}xdx=\frac{x^2}2\Big|^2_{-1}=\frac{2^2}2-\frac{(-1)^2}2=\frac42-\frac12=\frac32$ Thay vào, ta được: $l=\frac32+4-3=\frac52$ Vậy $l=\frac52$. Câu 37. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^x(e^{3x}+e^x+1)$, ta cần tính tích phân $\int e^x(e^{3x}+e^x+1) dx$. Sử dụng tính chất của tích phân, ta có thể tách tích phân này thành tổng của ba tích phân: $\int e^x(e^{3x}+e^x+1) dx = \int e^x e^{3x} dx + \int e^x e^x dx + \int e^x dx.$ Bây giờ, ta cần tính các tích phân này: 1. $\int e^x e^{3x} dx = \int e^{4x} dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C_1$. 2. $\int e^x e^x dx = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C_2$. 3. $\int e^x dx = e^x + C_3$. Cộng các kết quả lại, ta được: $\int e^x(e^{3x}+e^x+1) dx = \frac{1}{4}e^{4x} + \frac{1}{2}e^{2x} + e^x + C,$ với $C = C_1 + C_2 + C_3$. Vậy, nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^x(e^{3x}+e^x+1)$ là $F(x)=\frac14e^{4x}+\frac12e^{2x}+e^x+C$. Đáp án: A. Câu 38. Để tính môđun của số phức $z_1+z_2$, trước tiên ta cần tính $z_1+z_2$. Ta có: $z_1+z_2 = (1+i) + (2-5i) = 3-4i.$ Sau đó, ta tính môđun của số phức $3-4i$, được định nghĩa là căn bậc hai của tổng bình phương của phần thực và phần ảo: $|z_1+z_2| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.$ Vậy, môđun của số phức $z_1+z_2$ là $5$. Đáp án: B. Câu 39. Hàm số $y=\frac{m-\sin x}{\cos^2x}$ nghịch biến trên $(0;\frac\pi6)$ khi và chỉ khi đạo hàm $y' \leq 0$ trên $(0;\frac\pi6)$. Ta có: $y' = \frac{-\cos x(m-\sin x) - \cos x\sin x}{\cos^4x} = \frac{-m\cos x + \cos x\sin x}{\cos^3x}$. $y' \leq 0 \Leftrightarrow -m\cos x + \cos x\sin x \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$. Vì $x \in (0;\frac\pi6)$ nên $\tan x \in (0;\frac{\sqrt{3}}{3})$. Do đó, $m \geq \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$. Vậy giá trị lớn nhất của $m$ là $\frac54$. Vậy $m \leq \frac54$. Đáp án: B. $m\leq\frac54.$ Câu 40. Đặt $\log_4a=t$ thì $a=4^t=2^{2t}$. Tương tự, $b=6^t=2^{t}.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}=2^t.\sqrt{3^t}$. Do đó, $a+b=2^{2t}+2^t.\sqrt{3^t}$. Theo giả thiết, $\log_9(a+b)=t$, hay $a+b=9^t=3^{2t}$. So sánh hai kết quả, ta có: $2^{2t}+2^t.\sqrt{3^t}=3^{2t}$. Đặt $2^t=x>0$, ta có: $x^2+\sqrt{3}x=9$. Hay $x^2-9=-\sqrt{3}x$. Bình phương hai vế, ta được: $(x^2-9)^2=3x^2 \Rightarrow x^4-18x^2+81=3x^2 \Rightarrow x^4-21x^2+81=0$. Đây là phương trình bậc bốn, nhưng ta có thể dự đoán nghiệm $x=\sqrt{5}+1$. Thật vậy, nếu $x=\sqrt{5}+1$ thì $x^2=6+\sqrt{5}$ và thế vào phương trình trên thấy thoả mãn. Vậy $2^t=\sqrt{5}+1 \Rightarrow t=\log_2(\sqrt{5}+1)$. Khi đó, $\frac{a}{b}=\frac{2^{2t}}{2^t}=\sqrt{5}+1$. Vậy chọn đáp án $\boxed{C}$. Câu 41. Ta có: $S = \int_0^a |\sin x - \cos x| dx$ Xét dấu biểu thức $\sin x - \cos x$: $\sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}$ Do đó: $S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^a (\sin x - \cos x) dx$ $S = \left[\sin x + \cos x\right]_0^{\frac{\pi}{4}} - \left[\sin x + \cos x\right]_{\frac{\pi}{4}}^a$ $S = (\sqrt{2} - 1) - ((\sin a + \cos a) - (\sqrt{2} + 1))$ $S = 2\sqrt{2} - 2 - (\sin a + \cos a)$ Theo đề bài, $S = \frac{1}{2}(-3 + 4\sqrt{2} - \sqrt{3})$ nên: $2\sqrt{2} - 2 - (\sin a + \cos a) = \frac{1}{2}(-3 + 4\sqrt{2} - \sqrt{3})$ $\sin a + \cos a = 2 - 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ Xét hàm số $f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$, ta thấy hàm số này đồng biến trên $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$. Mặt khác, $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} < 2 - 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 = f\left(\frac{\pi}{2}\right)$. Do đó, $a \in \left(1, \frac{51}{50}\right)$. Đáp án: A. Câu 42. Đặt $z_1 = a + bi$ và $z_2 = c + di$ với $a, b, c, d$ là các số thực. Từ giả thiết, ta có: $z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i = 8 + 6i \Rightarrow \begin{cases} a + c = 8 \\ b + d = 6 \end{cases}.$ Và: $|z_1 - z_2| = |(a - c) + (b - d)i| = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2} = 2.$ $\Rightarrow (a - c)^2 + (b - d)^2 = 4.$ Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_1| + |z_2| = \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2}$. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: $[(a + c)^2 + (b + d)^2] [(1)^2 + (1)^2] \ge [(a + c) + (b + d)]^2 = (8 + 6)^2 = 280.$ $\Rightarrow (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ac + bd)) \ge 280.$ $\Rightarrow (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \ge 280 - 2(ac + bd).$ Mặt khác, ta có: $(a - c)^2 + (b - d)^2 = 4 \Rightarrow a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2 = 4.$ $\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2(ac + bd) + 4.$ Thay vào trên, ta được: $2(ac + bd) + 4 \ge 280 - 2(ac + bd).$ $\Rightarrow 4(ac + bd) \ge 276.$ $\Rightarrow ac + bd \ge \frac{276}{4} = 69.$ Lại có: $P^2 = (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) + 2\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)} = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 2\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}.$ Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \ge (ac + bd)^2 = 69^2.$ $\Rightarrow \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)} \ge 69.$ Thay vào trên, ta được: $P^2 \ge (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 2*69 = 280 - 2(ac + bd) + 138 = 418.$ $\Rightarrow P \ge \sqrt{418} = 34 + 3\sqrt{2}.$ Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $34 + 3\sqrt{2}$. Đáp án: A. Câu 43. Thể tích hình trụ là $V = \pi R^2h$. Cho trước thể tích V, ta có thể tìm được mối quan hệ giữa R và h thông qua phương trình này: $h = \frac{V}{\pi R^2}$. Diện tích toàn phần của hình trụ là $A = 2\pi R^2 + 2\pi Rh$. Thay $h = \frac{V}{\pi R^2}$ vào, ta được $A = 2\pi R^2 + 2\pi R\frac{V}{\pi R^2} = 2\pi R^2 + \frac{2V}{R}$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta có thể lấy đạo hàm của A theo R và cho nó bằng 0. $\frac{dA}{dR} = 4\pi R - \frac{2V}{R^2} = 0 \Rightarrow 4\pi R^3 = 2V \Rightarrow R^3 = \frac{V}{2\pi} \Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$. Thay $R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ vào $h = \frac{V}{\pi R^2}$, ta được $h = \frac{V}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2} = \frac{V}{\frac{V}{2\pi}} = 2\pi$. Vậy, khi $R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ và $h = 2\pi$, diện tích toàn phần A đạt giá trị nhỏ nhất. So sánh với các đáp án, ta thấy $h = 2R$ là đáp án đúng. Đáp án: A