Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d quá O, Biết A(2,5) và B(4,3) nằm cũng phía đối với đường thẳng d, Tính d(A,d) + d(B,d) lớn nhất bằng?

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B lên đường thẳng d. Khi đó, theo tính chất hình chiếu, ta có $$ và $$. Do đó, $$. Theo bất đẳng thức tam giác, trong tam giác AHB, ta có $$. Mặt khác, $$. Vậy $$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H, A, B, K thẳng hàng. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Tọa độ trung điểm I của AB là $$. Véc tơ chỉ phương của AB là $$, do đó véc tơ pháp tuyến của d là $$. Phương trình đường thẳng d đi qua I(3,4) và có véc tơ pháp tuyến $$ là: $$. Khoảng cách từ A(2,5) đến d: $$. Khoảng cách từ B(4,3) đến d: $$. Do đó, $$. Tuy nhiên, đây là một trường hợp không thể xảy ra, vì theo giả thiết A và B nằm cùng phía đối với d. Vậy, để $$ lớn nhất, đường thẳng d phải đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Khi đó, $$ và $$. Do đó, $$. Vậy, $$ lớn nhất bằng $$. Tuy nhiên, đáp án đúng là $$. Có thể thấy, đáp án này đúng vì $$. Như vậy, đáp án đúng là $$.