Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R , OM=2R, kẻ các tiếp tuyến MA,MB với đường tròn. Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt MB tại I . Tính tỉ số OI và AM.

Question

Accepted Answer

Ta có $\displaystyle MA$ là tiếp tuyến của (O) ⟹ $\displaystyle MA\ \bot \ OA$
mà $\displaystyle OI\ \bot \ OA$
⟹ $\displaystyle OI\ //\ AM$
⟹ $\displaystyle \widehat{OIB} \ =\ \widehat{AMB}$
Xét $\displaystyle \vartriangle AMO$ vuông tại $\displaystyle A$ có $\displaystyle OA\ =\ R,\ OM\ =\ 2R$
⟹ $\displaystyle \cos\widehat{AOM} \ \ =\ \frac{OA}{OM} \ =\ \frac{1}{2}$ và $\displaystyle AM\ =\ R\sqrt{3}$
⟹ $\displaystyle \widehat{AOM} \ =\ 60^{0}$
⟹ $\displaystyle \widehat{AMO} \ =\ 30^{0}$
⟹ $\displaystyle \widehat{AMB} \ =\ 60^{0} \ =\ \widehat{AOM}$
⟹ $\displaystyle \widehat{OIB} \ =\ \widehat{AOM}$
Xét $\displaystyle \vartriangle BIO$ và $\displaystyle \vartriangle AOM$ có
$\displaystyle \widehat{IBO} \ =\ \widehat{OAM} \ =\ 90^{0}$
$\displaystyle \widehat{OIB} \ =\ \widehat{AOM}$
⟹ $\displaystyle \vartriangle BIO\ \sim \ \vartriangle AOM$
⟹ $\displaystyle \frac{OI}{OB} \ =\ \frac{OM}{MA}$
⟹ $\displaystyle OI.R\sqrt{3} \ =\ R.2R\ =\ 2R^{2}$
⟹ $\displaystyle OI\ =\ \frac{2\sqrt{3}}{3} R$ ⟹ $\displaystyle \frac{OI}{AM} \ =\ \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3} R}{\sqrt{3} R} \ =\ \frac{2}{3}$