Bài 3. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại F. Go M là một điểm thuộc cung nhỏ BC (M khác B,C), hai đường thẳng AM và CD ca nhau E. a) Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp. b)...

Dung Vu

a) Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp

Ta chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp ⇔ ∠BME + ∠BFE = 180°.

Do CD ⊥ AB tại F (giả thiết), mà AB là đường kính, nên góc ∠CBF = 90°, và ∠DBF = 90° → ∠CFB = ∠DFB = 90°.

Tứ giác BMEF có:

• ∠BFE = 90° (do CD ⊥ AB tại F),
• M nằm trên cung nhỏ BC nên tam giác ABC nội tiếp ⇒ ∠BMC nằm trong đường tròn, mà AM cắt CD tại E ⇒ E ∈ đoạn MC, suy ra ∠BME là góc nhọn.

Ta xét: ∠BME + ∠BFE = ∠BME + 90°. Nếu chứng minh ∠BME = 90° thì tổng là 180°, tứ giác nội tiếp.

Xét tam giác BMC nội tiếp đường tròn (vì các điểm đều nằm trên đường tròn) ⇒ ∠BMC = góc nội tiếp chắn cung BC, ∠BMC là góc vuông vì AB là đường kính ⇒ ∠BMC = 90°.

Mà E nằm trên đoạn MC ⇒ ∠BME < ∠BMC = 90° ⇒ ∠BME + ∠BFE < 180°, nên không chứng minh kiểu đó được.

Cách khác:

Ta xét tứ giác BMEF, chứng minh có tổng hai góc đối bằng 180°.

Tứ giác BMEF có: ∠MBE và ∠MFE là hai góc đối nhau.

Ta có: ∠MBE = ∠MAB (do cùng chắn cung MB trong đường tròn),

∠MFE = 90° (do CD ⊥ AB tại F).

Lại có: ∠MAB + ∠MBE = 90° ⇒ ∠MBE = 90°.

Vậy ∠MBE + ∠MFE = 90° + 90° = 180° ⇒ tứ giác BMEF nội tiếp.

b) Chứng minh tia MA là phân giác của góc CMD

Ta cần chứng minh ∠CMA = ∠DMA.

Tứ giác BMEF nội tiếp ⇒ ∠FBE = ∠FME (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FE).

Lại có:

• ∠FBE = ∠CMA (vì cùng phụ với ∠ABF),
• ∠FME = ∠DMA (do đối đỉnh với ∠EMD).

Vậy ∠CMA = ∠DMA ⇒ MA là phân giác của ∠CMD.

c) Chứng minh AC² = AE·AM

Xét tam giác AMC có đường phân giác MA cắt CD tại E.

Theo định lý phân giác:

MA là phân giác của ∠CMD, cắt CD tại E ⇒

AE / AM = AC / AD.

Mà đường tròn có đường kính AB, nên tam giác ABC vuông tại C ⇒ AC vuông góc với CB.

Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác: AE / AM = AC / AD ⇒ AE·AD = AM·AC.

Nhưng tam giác vuông ABC có AC² = AD·AB (vì A là góc vuông, AD là đường phân giác).

Do đó, suy ra AC² = AE·AM.