Câu 21:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1,2,-1),~B(4,1,-1)$ và $C(2,3,-3).$ Gọi I là trung điểm BC . Tọa độ véctơ $\overrightarrow{AI}$ là.
A. $(-2,0,-1).$
B. $(2,0,-1).$
C. $(4,4,-3).$
D. $(3,-1,0).$
Trước hết, ta tìm tọa độ điểm I, là trung điểm của BC.
Tọa độ điểm I là trung điểm BC là: $I\left(\frac{B_x+C_x}{2},\frac{B_y+C_y}{2},\frac{B_z+C_z}{2}\right) = \left(\frac{4+2}{2},\frac{1+3}{2},\frac{-1-3}{2}\right) = \left(\frac{6}{2},\frac{4}{2},\frac{-4}{2}\right) = (3,2,-2)$.
Tọa độ véctơ $\overrightarrow{AI}$ là: $\overrightarrow{AI} = I - A = (3-1,2-2,-2-(-1)) = (2,0,-1)$.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 22:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;2;-1)$ và $B(2;-1;1)$ có phương trình tham số là:
A. $\left\{\begin{array}lx=1+t\\y=2-3t\\z=-1+2t\end{array}\right..$
B. $\left\{\begin{array}lx=1+t\\y=2-3t.C.\left\{\begin{array}lx=1+t\\y=-3+2t\\z=2-t\end{array}\right.\\B.\left\{\begin{array}lx=1+t\\y=2-3t.C.\\z=2-t\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}lx=1+t\\y=1+2t.\\z=-t\end{array}\right.$
Đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;2;-1)$ và $B(2;-1;1)$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB} = (2-1,-1-2,1-(-1)) = (1,-3,2)$.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(1;2;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (1,-3,2)$ là: $\left\{\begin{array}lx=1+t\\y=2-3t\\z=-1+2t\end{array}\right.$.
Vậy chọn đáp án A.
Câu 23:
Trong không gian Oxyz, Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm $A(2;-1;3)$ và song song với đường thẳng $(d^\prime)\left\{\begin{array}lx=1+t\\y=-1+t\\z=2-t\end{array}\right.$ là:
A. $\left\{\begin{array}lx=1+2t\\y=1-t\\z=-1+3t\end{array}\right..$
B. $\left\{\begin{array}lx=2+t\\y=-1-t\\z=3+5t\end{array}\right..$
C. $\left\{\begin{array}cx=2+3t\\y=-1\\z=3+2t\end{array}\right..$
D. $\left\{\begin{array}lx=2+t\\y=-1+t.\\z=3-t\end{array}\right.$.
Đường thẳng $(d^\prime)$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a} = (1,1,-1)$.
Đường thẳng d song song với đường thẳng $(d^\prime)$ nên vectơ chỉ phương của d cũng là $\overrightarrow{a} = (1,1,-1)$.
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm $A(2;-1;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (1,1,-1)$ là: $\left\{\begin{array}lx=2+t\\y=-1+t\\z=3-t\end{array}\right.$.
Vậy chọn đáp án D.
Đáp án: D
Câu 24:
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P). Từ phương trình của (P) ta thấy vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;2;-2)$.
Đường thẳng d đi qua điểm $A(1;4;7)$ nên phương trình tham số của d là:
$\left\{\begin{array}lx=1+t\\y=4+2t\\z=7-2t\end{array}\right.$
Vậy đáp án là A.
Câu 25:
Một véctơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm $M(1;-2;1)$ là $\overrightarrow{OM}=(1;-2;1)$.
Đáp án: D.
Câu 26:
Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 2; -1 - 3; -2 - (-4)) = (2; -4; 2)$.
So sánh với các đáp án, ta thấy $\overrightarrow{u} = (6; -2; -3)$ không phải là véctơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Các véctơ $\overrightarrow{u} = (3; -1; -3)$ và $\overrightarrow{u} = (1; -2; 1)$ đều là véctơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Tuy nhiên, $\overrightarrow{u} = (1; -2; 1)$ là một trong các véctơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Vậy đáp án là $\boxed{C}$.
Đáp án: C
Câu 27:
Một véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có thể được suy ra từ các hệ số của phương trình tham số của đường thẳng. Từ phương trình tham số của đường thẳng $d$, ta có:
$x = 2 - t$,
$y = 1 + 2t$,
$z = t$.
So sánh với phương trình tham số của đường thẳng $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$, ta thấy rằng một véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (-1; 2; 1)$.
Vậy, đáp án là A.
Câu 28:
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số là: $\begin{cases} x = -1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3t \end{cases}$.
Thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của $d$, ta tìm được điểm nào thỏa mãn hệ thì điểm đó thuộc $d$.
+ Với điểm $Q(1;0;2)$, thay vào phương trình tham số của $d$ ta được: $\begin{cases} 1 = -1 + t \\ 0 = 2 - t \\ 2 = 3t \end{cases}$. Giải hệ này ta được $t = 2$. Vậy $Q$ thuộc $d$.
+ Với điểm $N(1;-2;0)$, thay vào phương trình tham số của $d$ ta được: $\begin{cases} 1 = -1 + t \\ -2 = 2 - t \\ 0 = 3t \end{cases}$. Giải hệ này ta được $t = 2$ và $t = 0$, vô lý. Vậy $N$ không thuộc $d$.
+ Với điểm $P(1;-1;3)$, thay vào phương trình tham số của $d$ ta được: $\begin{cases} 1 = -1 + t \\ -1 = 2 - t \\ 3 = 3t \end{cases}$. Giải hệ này ta được $t = 2$. Vậy $P$ thuộc $d$.
+ Với điểm $M(-1;2;0)$, thay vào phương trình tham số của $d$ ta được: $\begin{cases} -1 = -1 + t \\ 2 = 2 - t \\ 0 = 3t \end{cases}$. Giải hệ này ta được $t = 0$. Vậy $M$ thuộc $d$.
Vậy các điểm $Q$, $P$, $M$ thuộc $d$.
Câu 29:
Để xác định điểm nào không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ và kiểm tra xem tọa độ của điểm đó có thoả mãn phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ hay không. Nếu không thoả mãn thì điểm đó không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
A. Thay tọa độ điểm $Q(1;2;-5)$ vào phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$, ta được:
\[2(1) - 3(2) - (-5) - 1 = 2 - 6 + 5 - 1 = 0.\]
Vậy điểm $Q$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
B. Thay tọa độ điểm $N(4;2;1)$ vào phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$, ta được:
\[2(4) - 3(2) - 1 - 1 = 8 - 6 - 1 - 1 = 0.\]
Vậy điểm $N$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
C. Thay tọa độ điểm $M(-2;1;-8)$ vào phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$, ta được:
\[2(-2) - 3(1) - (-8) - 1 = -4 - 3 + 8 - 1 = 0.\]
Vậy điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
D. Thay tọa độ điểm $P(3;1;3)$ vào phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$, ta được:
\[2(3) - 3(1) - 3 - 1 = 6 - 3 - 3 - 1 \neq 0.\]
Vậy điểm $P$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
Vậy đáp án là $\boxed{D}$.