Giải chi tiết ạ

Câu 2: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3x + \frac{4}{x^2} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(3x + \frac{4}{x^2}\right) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ y' = 3 - \frac{8}{x^3} \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3 - \frac{8}{x^3} = 0 \] \[ \frac{8}{x^3} = 3 \] \[ x^3 = \frac{8}{3} \] \[ x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm: Để kiểm tra tính chất của đạo hàm tại điểm \( x = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \): - Khi \( x < \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \), ta có \( y' < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \), ta có \( y' > 0 \) (hàm số tăng). Do đó, tại \( x = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. 4. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số: Thay \( x = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \) vào hàm số: \[ y = 3 \left(\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\right) + \frac{4}{\left(\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\right)^2} \] \[ y = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{3}} + \frac{4}{\frac{4}{\sqrt[3]{9}}} \] \[ y = \frac{6}{\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{9} \] \[ y = \frac{6}{\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{9} \] \[ y = 2 \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{9} \] \[ y = 3 \sqrt[3]{9} \] 5. Quy tròn đến hàng phần trăm: \[ \sqrt[3]{9} \approx 2.08 \] \[ y \approx 3 \times 2.08 = 6.24 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3x + \frac{4}{x^2} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \) là \( 6.24 \).